WWW.DIS.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 39 |

«В.Г. КРУПИН, А.Л. ПАВЛОВ, Л.Г. ПОПОВ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ Учебное пособие по курсу Высшая ...»

-- [ Страница 1 ] --

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МЭИ»

_

В.Г. КРУПИН, А.Л. ПАВЛОВ, Л.Г. ПОПОВ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА,

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ

Учебное пособие по курсу «Высшая математика»

для студентов МЭИ, обучающихся по всем направлениям подготовки Москва Издательский дом МЭИ 2013 УДК 51 K Утверждено учебным управлением МЭИ в качестве учебного пособия для студентов Подготовлено на кафедре высшей математики Рецензенты: докт. физ.-мат. наук, профессор А.С. Барашков, докт. физ.-мат. наук, профессор А.А. Туганбаев Крупин В.Г.

К Высшая математика. Теория вероятностей, математическая статистика, случайные процессы. Сборник задач с решениями:

учебное пособие / В.Г. Крупин, А.Л. Павлов, Л.Г. Попов. — М.:

Издательский дом МЭИ, 2013. — 368 с.

ISBN Учебное пособие содержит краткие теоретические сведения, необходимые для понимания и решения задач. Подробно разобраны примеры решения задач и приведены по 30 вариантов каждого типа задач для самостоятельного решения.

Предназначено как для студентов, приступающих к изучению теории вероятностей, так и для студентов старших курсов, изучающих ее специальные разделы. Пособие будет полезно для дистанционного обучения.

Представляет интерес для преподавателей, желающих активизировать самостоятельную работу студентов (с помощью типовых расчетов или индивидуальных домашних заданий).

Учебное издание Крупин Владимир Григорьевич Павлов Александр Леонидович Попов Леонид Глебович

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА,

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ

Учебное пособие по курсу «Высшая математика»

для студентов МЭИ, обучающихся по всем направлениям подготовки Редактор издательства Темплан издания МЭИ 2012, учеб. Подписано в печать Печать офсетная Формат 6084/16 Физ. печ. л. Тираж экз. Изд. № Заказ ЗАО «Издательский дом МЭИ», 111250, Москва, Красноказарменная ул., д. © Крупин В.Г., Павлов А.Л., Попов Л.Г., © ЗАО «Издательский дом МЭИ», Нельзя выучить математику, только слушая лекции, точно так же как нельзя выучиться игре на пианино, только слушая пианиста.

К. Рунге (1856–1927), немецкий математик.

ПРЕДИСЛОВИЕ

По мнению древнекитайского мыслителя Конфуция (551–479 до н.э.), три пути ведут к знанию: путь размышления –– это путь самый благородный, путь подражания –– это путь самый легкий и путь опыта –– это путь самый горький. Предлагаемая книга позволяет пойти по самому легкому пути. Путь этот состоит в том, чтобы, разобравшись в решении типового примера, воспроизвести рассуждения и вычисления в похожей задаче.

Задачник [1] по спецкурсам высшей математики для типовых расчетов был создан на кафедре Высшей математики Московского энергетического института (ныне Национального исследовательского университета «МЭИ») еще в восьмидесятые годы прошлого столетия.

Лет пятнадцать назад была осознана необходимость значительно расширить этот задачник, т.е. фактически сделать новый задачник. Однако этот замысел удалось воплотить в жизнь лишь в недавнее время.

Настоящее издание является третьей книгой в предполагаемой серии задачников. Первые две книги [2] и [3] уже увидели свет в 2011 и годах.

Предлагаемый задачник с решениями содержит задачи по разделам:

комбинаторика, теория вероятностей, математическая статистика, теория случайных процессов. Каждый тип задач предваряется подробно разобранным стандартным примером. После этого формулируется вариантов задачи. Такая структура задачника позволяет использовать его в первую очередь для типовых расчетов, для индивидуальных домашних заданий, для проведения контрольных мероприятий.

Беда современного учебного процесса в том, что в изобилии информационных потоков студент не всегда может должным образом сориентироваться, а часто просто не имеет времени собрать нужную информацию. Поэтому в целях экономии времени студента в каждом разделе, наряду с разбором типовых задач, приведены необходимые теоретические сведения и формулы. Теоретические факты и формулы даны в рецептурном виде без подробного обсуждения и вывода, что вполне приемлемо при первичном знакомстве с предметом.

В задачнике представлены задачи, входящие в стандартный курс теории вероятностей и математической статистики, и задачи из ряда спецкурсов, читаемых на разных факультетах МЭИ (случайные процессы, теория решающих функций и т.д.). Значительная часть задач по теории вероятностей связана с так называемой «урновой схемой», что позволяет без излишних подробностей, выявить количественные соотношения и особенности тех или иных моделей случайного эксперимента.

Для большинства задач, кроме именных (задача Бюффона, задача Банаха и т.д.), едва ли возможно установление авторства, так как обсуждение стандартных ситуаций кочует из задачника в задачник.

Формулировки многих задач заимствованы из разных известных учебных пособий и специальной литературы ([1]–[11]), есть и задачи сформулированные заново.



Нумерация примеров и задач ведется внутри каждой главы.

Авторы очень благодарны рецензентам Барашкову А.С. и Туганбаеву А.А. за внимательное прочтение рукописи, за многие полезные замечания и пожелания.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

An –– число размещений из n элементов по r;

Cn –– число сочетаний из n элементов по r;

n! –– число перестановок из n элементов;

A, B, C, D, … –– случайные события;

A –– событие, противоположное событию A ;

–– достоверное событие;

P(A) –– вероятность события A;

P(B/A) –– вероятность события B, вычисленная при условии, что событие A произошло (условная вероятность события B);

X, Y, Z, … –– случайные величины, а x, y, z, … –– отдельно взятые значения N (m; s ) –– нормальный закон распределения с математическим X : N (m; s2 ) –– случайная величина X имеет нормальный закон F ( x) –– функция распределения случайной величины X (по определению f ( x) –– функция плотности вероятности случайной величины X ;

M ( X ) –– математическое ожидание случайной величины X ;

D ( X ) –– дисперсия случайной величины X ;

cov( X,Y ) –– коэффициент ковариации случайных величин X и Y ;

W –– выборочное пространство;

W0 –– критическая область в выборочном пространстве;

–– множество натуральных чисел;

–– множество целых чисел;

F( x) –– функция Лапласа;

rxy –– коэффициент корреляции случайных величин X и Y ;

H0 – нулевая гипотеза;

H1 – альтернативная гипотеза;

X(t) –– случайная функция или случайный процесс;

K(t1,t2) –– корреляционная (автокорреляционная) функция случайного k(t) –– корреляционная (автокорреляционная) функция стационарного случайного процесса;

Пусть имеется несколько множеств элементов:

Вопрос: сколькими способами можно составить новое множество {a1, b, c,}, взяв из каждого исходного множества по одному элементу?

Ответ на этот вопрос дают следующие рассуждения.

Элемент а из первого множества можно выбрать t способами, элемент b из второго –– s способами, элемент с можно выбрать k способами и т. д. Пару элементов аb можно составить t s способами. Это следует из табл. 1.1, в которой перечислены все способы такого выбора.

Способы выбора трех элементов аbc перечислены в табл. 1.2.

K K K K K K

В этой таблице k строк и t s столбцов. Поэтому искомое число способов выбора трех элементов аbc равно t s k. Продолжая рассуждать подобным образом, получим следующее утверждение.

Основной комбинаторный принцип. Если некоторый первый выбор можно сделать t способами, для каждого первого выбора некоторый второй можно сделать s способами, для каждой пары первых двух –– третий выбор можно сделать k способами и т.д., то число способов для последовательности таких выборов равно t s k....

Комбинаторные формулы в прикладных задачах теории вероятностей обычно связывают с выбором r элементов («выборкой объема r») из совокупности, состоящей из n элементов (элементов «генеральной совокупности»). Различают два способа выбора:

а) повторный выбор, при котором выбранный элемент возвращается в генеральную совокупность и может быть выбран вновь;

б) бесповторный выбор, при котором выбранный элемент в совокупность не возвращается и выборка не содержит повторяющихся элементов.

При повторном выборе каждый по порядку элемент может быть выбран n способами. Согласно комбинаторному принципу, такую выборку можно сделать n r способами. Например, повторную выборку объема 2 из трех элементов {a, b, c} можно сделать 32 = 9 способами: аа, аb, bа, bb, bс, сb, ас, са, сс.

В случае бесповторной выборки первый элемент можно выбрать n способами, для второго остается n - 1 возможность выбора, третий элемент можно выбрать n - 2 способами и т.д. Элемент выборки с номером r можно выбрать n - r + 1 способом. Согласно комбинаторному принципу, общее число бесповторных выборок объема r равно Число Аn называют числом размещений из n элементов по r.

Например, существует А32 = 3 2 = 6 размещений из трех элементов {а, b, с} по два: ab; ba; ac; ca; bc; cb. Отметим, что и в первом случае и во втором выборки отличаются либо составом элементов, либо порядком выбора элементов.

Выделим особо случай, когда один за другим выбраны все n элементов.

В этом случае выборки имеют один и тот же состав (все n элементов) и отличаются только порядком выбора элементов. Поэтому число называют числом перестановок из n элементов.

Например, пять человек могут встать в очередь 5! = 5 4 3 2 1 = способами. Три элемента {а, b, с} можно переставить 3!= 3 2 1= способами: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Подсчитаем количество бесповторных выборок объема r, которые отличаются друг от друга только составом элементов. Пусть X –– число таких выборок. Для каждого набора из r элементов можно выбрать порядок их расположения r! способами. Тогда Х r ! равно числу способов выбрать r различных элементов и выбрать порядок их расположения, т.е. равно числу размещений из n элементов по r:

Это число называют числом сочетаний из n элементов по r и обозначают через Cn. Если в формуле (1.2) умножить числитель и знаменатель на (n – r )!, то Например, сочетаний из четырех элементов {а, b, с, d } по два существует С4 = = 6. Это аb, ас, ad, bс, bd, cd.

Так как из n элементов выбрать n элементов можно единственным образом, то Cn = Величины Cn называют биномиальными коэффициентами. Название связано с формулой бинома Ньютона Из формулы (1.3) следует, что треугольник Паскаля, который имеет вид:

..................

В n-й строке треугольника Паскаля располагаются коэффициенты, соответствующие представлению (a + b)n по формуле (1.3). Треугольником удобно пользоваться для нахождения значений Cn. Это значение находится на пересечении n-й строки и r-го наклонного ряда. Например, С83 = 56.

Биномиальные коэффициенты обладают свойством симметрии:

Это наглядно демонстрирует треугольник Паскаля. Равенство (1.4) подтверждает тот очевидный факт, что выбор r элементов из n равносилен выбору тех n – r элементов из n, которые следует удалить, чтобы остались r элементов.



Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 39 |
 

Похожие работы:

«Федеральное агентство по образованию АМУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГОУ ВПО АмГУ Факультет социальных наук УТВЕРЖДАЮ Зав. кафедрой МСР _ М.Т. Луценко _ _ 2007 г. Учебно-методический комплекс дисциплины АНТРОПОЛОГИЯ Для специальности 040101 Социальная работа Составители: Колосов В.П., Самсонов В.П. Благовещенск 2007 Печатается по решению редакционно-издательского совета факультета социальных наук Амурского государственного университета Колосов В.П., Самсонов В.П. Учебно-методический...»

«Государственное казенное учреждение Московской области “Управление автомобильных дорог Московской области “Мосавтодор”“ УТВЕРЖДЕНЫ Начальником Управления “Мосавтодор” 12 ноября 2012 г. Вводятся в действие с 01 января 2013 г. ДНД МО-013/2013 Методические указания по расчету стоимости содержания линий освещения на автомобильных дорогах регионального или межмуниципального значения Московской области ГУП МО Лабораторно-исследовательский центр, 2012г. СОДЕРЖАНИЕ 1 Общие положения.. 2 Требования к...»

«1 ТАШКЕНТСКИЙ КЫРГЫЗСКИЙ ИНСТИТУТ ИРРИГАЦИИ И НАЦИОНАЛЬНЫЙ НИВЕРСИТЕТ МЕЛИОРАЦИИ им. Ж.БАЛАСАГЫНА МЕЖДУНАРОДНЫЕ И ГОСУДАРСТВЕННЫЕ ВОДНЫЕ ОТНОШЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ 2 Международные и государственные водные отношения/ Под редакцией проф. Валиева Х.И., проф. Салохиддинов А.Т., проф. Адамкуловой Ч.У., Акбалаевой Ч.А., Иманалиевой С.Т. – Бишкек, КНУ, 2013 Данное учебное пособие подготовлено в рамках проекта Темпус Towards Sustainable Water Проект финансируется при поддержке Resources Management In...»

«РОССИЙСКИЙ СОЮЗ АВТОСТРАХОВЩИКОВ Утверждено постановлением Президиума РСА от 21 мая 2008г., пр. № 9 МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ № 7 по применению коэффициентов страховых тарифов в зависимости от наличия или отсутствия страховых выплат, произведенных страховщиками при осуществлении обязательного страхования гражданской ответственности владельцев транспортного средства в предшествующие периоды (КБМ), и заполнению сведений об обязательном страховании гражданской ответственности владельца...»

«Министерство образования РФ Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) Кафедра организации перевозок и управления на транспорте МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ПРОВЕДЕНИЮ СЕМИНАРСКИХ ЗАНЯТИЙ КУРСА “СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ” ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ И СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТИ 240100 Составитель Е.Е. Витвицкий Омск Издательство СибАДИ 2003 УДК 167:517:519.95 ББК 371.22 Рецензент доцент кафедры ИТ И.А. Палий. Работа одобрена методической комиссией факультета Автомобильный транспорт в качестве...»

«АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ЦЕНТРОСОЮЗА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КООПЕРАЦИИ Т.В. Кириева В.В. Бронникова МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ВЫПУСКНОЙ КВАЛИФИКАЦИОННОЙ РАБОТЫ специальность 260501.65 Технология продуктов общественного питания Москва 2011 1 УДК 641 ББК 36.99-9 К 43 Кириева Т.В., Бронникова В.В. Методические указания по выполнению выпускной квалификационной работы. – М.: Российский университет кооперации, 2011. –...»

«Федеральное агентство по образованию Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) Кафедра проектирования автомобильных дорог МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению лабораторной работы СОЗДАНИЕ ЦИФРОВОЙ МОДЕЛИ РЕЛЬЕФА по дисциплине САПР АВТОМОБИЛЬНЫХ ДОРОГ Составители: И.А. Малофеева, А.Г. Малофеев Омск Издательство СибАДИ 2007 УДК 625.72 : 681.5 ББК 39.311 Рецензент д-р техн.наук, проф. Ю.В.Столбов Работа одобрена научно-методическим советом специальности 270205 в качестве...»

«УДК 004.438 ББК 32.973 Т39 Электронный учебно-методический комплекс по дисциплине Языки программирования подготовлен в рамках инновационной образовательной программы Информатизация и автоматизированные системы управления, реализованной в ФГОУ ВПО СФУ в 2007 г. Рецензенты: Красноярский краевой фонд науки; Экспертная комиссия СФУ по подготовке учебно-методических комплексов дисциплин Титовский, С. В. Т39 Языки программирования. Ассемблер. Версия 1.0 [Электронный ресурс] : конспект лекций / С. В....»

«Александр Сивухин САМОУЧИТЕЛЬ ЯПОНСКОГО РАЗГОВОРНОГО ЯЗЫКА (Учебное пособие. Версия 4.1) г.Лисичанск. Исток 2014 год Самоучитель разговорного японского языка (Уроки 1-15) _ В версии 4.0, по сравнению с предыдущими, произведены следующие дополнения и изменения: - упорядочены списки кандзи и выделены отдельными списками новые кандзи к каждому уроку; - даны описания к новым кандзи с их значениями, чтениями, мнемообразами, примерами связанных слов и порядком начертания строк; - добавлены...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ивановская государственная текстильная академия (ИГТА) Кафедра ткачества Информационные технологии в производстве текстильных изделий Методические указания к лабораторным работам для студентов направления подготовки 656000 Технология и проектирование текстильных изделий, специальности 280300 Технология текстильных изделий и направления подготовки 551200 Технология текстильной и...»




 
© 2013 www.dis.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.