WWW.DIS.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     || 2 |

«УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по дисциплине Математика. Элементы высшей математики для студентов всех специальностей СПО. Раздел Элементы теории рядов и дифференциальных уравнений ...»

-- [ Страница 1 ] --

УДК 51(075.8)

ББК 22.1я73

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

У 91

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СЕРВИСА»

(ФГБОУ ВПО «ПВГУС») Кафедра «Высшая математика»

Рецензент к.п.н., доц. Киричек Г. А.

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

по дисциплине «Математика. Элементы высшей математики»

для студентов всех специальностей СПО. Раздел «Элементы теории рядов и дифференциальных уравнений»

Учебно-методическое пособие по дисциплине «Математика.

У 91 Элементы высшей математики» / сост. Е. В. Афанасьева. – ТольОдобрено ятти : Изд-во ПВГУС, 2012. – 36 с.

Учебно-методическим Для студентов всех специальностей СПО. Раздел «ЭлеменСоветом университета ты теории рядов и дифференциальных уравнений».

Составитель Афанасьева Е. В.

© Афанасьева Е. В., составление, © Поволжский государственный университет сервиса, Тольятти

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Раздел 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.1. Понятие дифференциальных уравнений первого порядка....………. 1.2. Уравнения с разделяющимися переменными.……………………..... Раздел 2. Дифференциальные уравнения высших порядков.

2.1. Простейшие дифференциальные уравнения высших порядков.…… 2.2. Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Раздел 3. Числовые ряды 3.1. Понятие числового ряда……………………………………………….. 3.2. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами................ 3.3. Знакочередующиеся ряды, абсолютная и условная сходимость......... Раздел 4. Функциональные ряды 4.1. Понятие функционального ряда. Степенные ряды. Ряды Тейлора.... 4.2. Ряды Фурье

Ответы и указания

Литература

Введение Предлагаемое пособие предназначено для студентов всех специальностей СПО и охватывает темы «Дифференциальные уравнения» и «Ряды».

Пособие состоит из четырех разделов:

- Дифференциальные уравнения первого порядка.

- Дифференциальные уравнения высших порядков.

- Числовые ряды.

- Функциональные ряды.

Каждый параграф любого из разделов содержит краткий справочный материал, примеры решения задач, задачи для практических занятий и самостоятельного решения. Каждый раздел снабжен типовыми тестовыми заданиями. В конце методического пособия даны ответы к задачам для самостоятельного решения, прилагается список литературы.

Данное пособие полезно для студентов, а также преподавателей, ведущих практические занятия со студентами всех специальностей СПО.

РАЗДЕЛ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА.

1.1. ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО

ПОРЯДКА.

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, СВОЙСТВА И ТЕОРЕМЫ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Дифференциальным называется уравнение, содержащее независимую переменную x, неизвестную функцию y и ее производные y, y,..., y ( n ), т.е. F ( x, y, y, y,..., y ( n ) ) = 0.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком этого ОПРЕДЕЛЕНИЕ Решением дифференциального уравнения называется функция y = ( x ), обращающая это уравнение в верное ОПРЕДЕЛЕНИЕ График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция y = (x, С ) называется общим решением дифференциального уравнения первого порядка, если оно является решением этого уравнения при любых значениях произвольной постоянной C, принадлежащей некоторому ОПРЕДЕЛЕНИЕ Всякое решение y = (x,С 0 ), получающееся из общего называется частным решением дифференциального уравнения 1-го порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Соотношение вида Ф (x, y, С ) = 0, неявно определяющее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения 1 - го порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Соотношение, получаемое из общего интеграла при конкретном значении постоянной c, называется частным интегралом дифференциального уравнения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющего начальному условию y ( x0 ) = y0, называется задачей Коши.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Дифференциальное уравнение первого порядка вида y = f ( x, y ) называется разрешенным относительно ОПРЕДЕЛЕНИЕ Если в правой части разрешенного относительно производной дифференциального уравнения первого уравнение называется простейшим дифференциальным Общее решение простейшего дифференциального уравнения 1-го порядка находится путем интегрирования правой части данного уравнения:

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

1. Найти общее решение дифференциального уравнения: y = + x3.

РЕШЕНИЕ:

Данное уравнение является простейшим дифференциальным уравнением 1го порядка.

y = 7 arcsin x + 2. Решить задачу Коши: y = 2, y ( 0 ) = 3.

РЕШЕНИЕ:

Найдем общее решение простейшего дифференциального уравнения:



y = 3 tgx + c Используя начальное условие y ( 0 ) = 3, найдем значение c :

y = 3 ( tgx + 1) - решение задачи Коши.

3. При каком значении функция y = ex + e x является решением РЕШЕНИЕ:

Подставим в уравнение:

При = 2 функция y = e2 x + e x является решением данного дифференциального уравнения.

4.Дано дифференциальное уравнение xy = 2 y и начальное условие y (1) = 1.

Какой из графиков, представленных на рисунке, является интегральной кривой этого уравнения?

РЕШЕНИЕ: ответить на поставленный вопрос можно, не решая уравнения.

Интегральная кривая по условию задачи должна проходить через точку (1;1).

Из предложенных графиков только один проходит через указанную точку: D.

Ответ: D- интегральная кривая.

ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ И САМОСТОЯТЕЛЬНОГО

1.1. 1Какие из следующих функций:

являются решением уравнения y + y cos x = sin 2 x.

1.1.2 Найти общее решение дифференциального уравнения 1.1.3 Решить задачу Коши:

1.1.4 Дано дифференциальное уравнение y xy = 2 x и начальное условие y ( 2 ) = 0. Какой из графиков, представленных на рисунке является интегральной кривой данного уравнения?

1.2. УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ.

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, СВОЙСТВА И ТЕОРЕМЫ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Если дифференциальное уравнение 1-го порядка, относительно производной, можно записать в виде:

разделяющимися переменными.

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ

ПЕРЕМЕННЫМИ:

1) Запишем уравнение в виде умножив обе части уравнения на dx и разделив на f 2 ( y ) 0 :

Интегрируем обе части полученного равенства Если после интегрирования удается выразить y как функцию от x :

y = ( x, c ), то это решение в явном виде. Если y выразить не удается, то F ( x, y, c ) = 0 - решение в неявном виде.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

РЕШЕНИЕ: y = { - уравнение с разделяющимися переменными.

2. Решить задачу Коши y = РЕШЕНИЕ: y = y - уравнение с разделяющимися перемененными.

dy 2 x dx Используя начальное условие y ( 0 ) = 1,найдем значение c :

y = (1 + x 2 ) - решение задачи Коши.

ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ И САМОСТОЯТЕЛЬНОГО

1.2.1.Найти общее решение уравнений:

1.2.2.Решить задачу Коши:

1.Из данных дифференциальных уравнений простейшими являются:

2.Дано дифференциальное уравнение y + y = 6. Тогда его решением является функция:

3.Дано дифференциальное уравнение xy = y + 3x 4 и начальное условие y = 1. Тогда интегральная кривая, которая определяет решение этого уравнения, имеет вид:

4.Из данных дифференциальных уравнений уравнениями с разделяющимися переменными являются:

РАЗДЕЛ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ

2.1. ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ЗАДАЧА КОШИ.

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, СВОЙСТВА И ТЕОРЕМЫ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Дифференциальное уравнение вида ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция y = ( x, C1, C 2,..., C n ) называется общим решением уравнения (1), если при каждом допустимом значении С1, С 2,..., С n она обращает данное уравнение в верное ОПРЕДЕЛЕНИЕ Задача нахождения решения уравнения (1), удовлетворяющего начальным условиям:

x0, y 0, y0,..., y 0n1) - заданные числа, называется задачей ОПРЕДЕЛЕНИЕ Дифференциальное уравнение n -го порядка, разрешенное относительно старшей производной, вида y ( n ) = f ( x) называется простейшим дифференциальным уравнением ЗАМЕЧАНИЕ Общее решение простейшего дифференциального

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

1. Найти общее решение уравнения: y = sin 2 x + x.

РЕШЕНИЕ: Имеем простейшее дифференциальное уравнение 3-го порядка.

Интегрируем последовательно три раза:

решение исходного уравнения.

РЕШЕНИЕ: Имеем простейшее дифференциальное уравнение 2-го порядка.

Интегрируем последовательно два раза:

Используя начальные условия, найдем C1 и С 2 :

y = ln x + x - решение задачи Коши.

ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ И САМОСТОЯТЕЛЬНОГО

2.1.1 Найти общее решение уравнений:

2.1.2 Решить задачу Коши:

2.2. ОДНОРОДНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ

КОЭФФИЦИЕНТАМИ.

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, СВОЙСТВА И ТЕОРЕМЫ.

называется однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными ОПРЕДЕЛЕНИЕ Уравнение вида ak 2 + bk + c = 0 называется характеристическим уравнением дифференциального Для решение уравнения (1) находим корни его характеристического уравнения.

При этом возможны следующие случаи:

1. Дискриминант квадратного уравнения D 0, тогда корни характеристического уравнения действительные и различные k1 k2, а общее решение уравнения (2) имеет вид:

2. D = 0, тогда корни характеристического уравнения действительны и равны k1 = k 2 = k, а общее решение уравнения (2) имеет вид:

3. D 0, тогда характеристическое уравнение имеет комплексные корни:

k1, 2 = ± i, а общее решение уравнения (2) имеет вид:

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

1. Найти общее решение уравнения y + 2 y + 3 y = 0.

РЕШЕНИЕ: Составим характеристическое уравнение: k 2 + 2k + 3 = Общее решение исходного уравнения имеет вид:

2. Решить задачу Коши y + 5 y + 6 y = 0, y (0) = 1, y(0) = 0.

РЕШЕНИЕ: Составим характеристическое уравнение: k 2 + 5k + 6 = 0. Решим его:

Общее решение исходного уравнения: y = C1e 2 x + C2e 3 x.

Для нахождения частного решения, вычислим производную найденной функции y = 2C1e 2 x 3C2e 3 x и воспользуемся начальными условиями:

Решение задачи Коши: y = 3e 2 x 2e 3 x.



Pages:     || 2 |
 

Похожие работы:

«Управление образования и науки Тамбовской области Тамбовское областное государственное образовательное автономное учреждение дополнительного профессионального образования Институт повышения квалификации работников образования Тамбовское областное государственное бюджетное учреждение Межрегиональный центр возрождения духовно-нравственного наследия Преображение Формирование системы духовно-нравственного развития и воспитания детей и молодежи в образовательных учреждения всех видов и типов...»

«ЦЕНТР СОДЕЙСТВИЯ КОРЕННЫМ МАЛОЧИСЛЕННЫМ НАРОДАМ СЕВЕРА Н.В. Моралева, Е.Ю. Ледовских, Т. Келер, Д.В. Киричевский, М.Ю. Рубцова, В.П. Чижова АБОРИГЕННЫЙ ЭКОТУРИЗМ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ Россия 2008 Ассоциация коренных малочисленных народов Центр содействия Севера, Сибири и Дальнего Востока коренным малочисленным народам Севера Российской Федерации ЦС КМНС АКМНССДВ РФ 119415, Москва, а/я 119415, Москва, а/я mail@csipn.ru raipon@raipon.org www.csipn.ru www.raipon.org Моралева Н.В., Ледовских Е.Ю.,...»

«Весманов С.В., Весманов Д.С. Управление проектами, качеством, персоналом. Учебно-методическое пособие. – М.: Издательство МГПИ, 2010. Оглавление Введение..3 Раздел 1. Управление проектами..5 1.1. Весманов С.В. Программа дисциплины Управление проектами..5 1.2. Весманов С.В. Методические указания для студентов по оценке качества освоения дисциплины Управление проектами.16 1.2. Весманов С.В. Материалы к лекциям по дисциплине Управление проектами..20 Раздел 2. Управление качеством..92 2.1....»

«О. А. МОКРУШИНА СБОРНИК ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ 2 - е и з д а н и е, п е р е р а б ота н н о е 1 класс МОСКВА • ВАКО • 2011 УДК 372.851 ББК 74.262.21 М74 Р е ц е н з е н т – заместитель директора ОМЦ Центрального окружного управления образования г. Москвы С.И. Сабельникова. Мокрушина О.А. М74 Сборник текстовых задач по математике: 1 класс. – 2-е изд., перераб. – М.: ВАКО, 2011. – 112 с. ISBN 978-5-408-00381-5 В сборник вошли задачи познавательного и занимательного характера, которые...»

«ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОДУКТЫ ПИТАНИЯ Рекомендовано Сибирским региональным учебно-методическим центром высшего профессионального образования для межвузовского использования в качестве учебного пособия УДК 620(075.8) ББК 65.291.82я73 Ф94 Рецензенты: Т.В. Меледина, заведующая кафедрой пищевой биотехнологии продуктов из рас тительного сырья СПб ГУНиПТ, др техн. наук, проф., Н.Н. Егорова, гл. внештат. специалист по профилактике Министерства здраво охранения Республики Башкортостан, ученый секретарь...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Муромский институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых И.Н. Ростокин ПРОЕКТИРОВАНИЕ МИКРОПОЛОСКОВЫХ СВЧ УСТРОЙСТВ Учебное пособие к курсовой работе по дисциплине Теория физических полей Муром 2013 ВВЕДЕНИЕ Процесс создания новой техники всегда связан с...»

«Федеральное агентство по образованию Казанский государственный технологический университет Институт технологий легкой промышленности, моды и дизайна ПРОГРАММА ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ПРАКТИКИ для студентов специальности 260901 Технология и конструирование изделий легкой промышленности по направлению подготовки 260900.65 Технология швейных изделий Методические указания 2010 УДК 687:02 Составил: доцент Л.Г. Хисамиева, старший преподаватель В.И. Богданова, ассистент Р.Н. Гимадитдинов. Программа...»

«ОАО Российские железные дороги РАБОЧЕЕ ВРЕМЯ И ЕГО УЧЕТ В ЕКАСУТР Методическое пособие для специалистов в области организации, нормирования и оплаты труда Автор проекта: Разуменко Г.В. Ведущий инженер НОТ Красноярская ж.д (в редакции ЦЗТ) Красноярск 2012г ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Аннотация 2. Основные определения и сокращения 3. Предисловие 4. Общие положения Введение в Управление временными данными 4.1 5. Основные понятия рабочего времени. Особенности реализации отдельных его видов и режимов. Режим...»

«С. С. Зарубин, М. А. Калинин Формирование практических умений и навыков в клинической интернатуре по оториноларингологии Учебное пособие Архангельск, 2010 г. СОДЕРЖАНИЕ 1. ВВЕДЕНИЕ 5 2. ОБЩАЯ СЕМИОТИКА ПАТОЛОГИИ ЛОР-ОРГАНОВ 8 3. ИСТОЧНИКИ ОСВЕЩЕНИЯ И ОСНОВНОЙ ИНСТРУМЕНТАРИЙ 11 3.1. ПОЛЬЗОВАНИЕ ЛОБНЫМ РЕФЛЕКТОРОМ 12 4. МЕТОДИКА ОБСЛЕДОВАНИЯ ЛОР ОРГАНОВ 13 4.1. МЕТОДИКА ОБСЛЕДОВАНИЯ НОСА И ОКОЛОНОСОВЫХ ПАЗУХ 13 4.2. МЕТОДИКА ОБСЛЕДОВАНИЯ ГЛОТКИ 16 4.3. МЕТОДИКА ОБСЛЕДОВАНИЯ ГОРТАНИ 4.5. МЕТОДИКА...»

«Конституционные акты Франции (текст приводится по сборнику Конституции зарубежных государств: Учебное пособие/Сост. проф. В.В.Маклаков. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Волтерс Клувер, 2003) Конституционный закон от 3 июня 1958 г. Конституция Французской Республики от 4 октября 1958 г. Декларация прав человека и гражданина от 26 августа 1789 г. Преамбула Конституции от 27 октября 1946 г. Циркуляр от 13 декабря 1999 г. о применении статьи 88-4 Конституции Конституционный закон от 3 июня 1958...»




 
© 2013 www.dis.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.