WWW.DIS.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     || 2 |

«УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС Стохастическая динамика _ Методические указания Автор: Ряшко Л.Б., доктор физикоматематических наук, профессор кафедры математической физики ...»

-- [ Страница 1 ] --

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

«Уральский государственный университет им. А.М. Горького»

ИОНЦ «Информационная безопасность»

Математико-механический факультет

Кафедра алгебры и дискретной математики

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

Стохастическая динамика _ Методические указания Автор:

Ряшко Л.Б.., доктор физикоматематических наук, профессор кафедры математической физики Екатеринбург Спецкурс «Стохастическая динамика» предназначен для студентов специальности 090102 - «Компьютерная безопасность», а также для студентов направления 010300 - «Математика. Компьютерные науки».

Данный курс опирается на ряд разделов таких базовых дисциплин, как «Математический анализ», «Дифференциальные уравнения», «Теория вероятностей и математическая статистика». Изложение материала предполагает определенный уровень математической культуры студентов, которым они должны были овладеть на младших курсах.

Методы теории регулярных и хаотических систем получили широкое распространение в современной математике и информатике.

Основные результаты теории играют важное значение в понимании сложных механизмов разнообразных явлений нелинейной динамики. Они являются базовыми для многих современных разделов теоретических и прикладных компьютерных наук, а также имеют многочисленные применения в сфере защиты компьютерной информации.

Целью курса является систематическое изложение основных теоретических понятий и методов анализа стохастических и хаотических динамических систем.

Главная задача курса - ознакомить студентов с основными разделами теории нелинейных стохастических и хаотических процессов, заложить теоретический фундамент анализа сложных нелинейных динамических систем и их использования для защиты информации.

В ходе усвоения курса студент должен знать основные понятия и основные результаты теории стохастических дифференциальных уравнений, владеть методами анализа вероятностных процессов, уметь исследовать различные динамические режимы, относящиеся как к зонам порядка, так и зонам хаоса, уметь применять методы стохастической динамики в задачах защиты информации.

Методическая новизна курса состоит в компактном и целостном изложении теории стохастических дифференциальных уравнений и хаотических систем.

Исследования последних лет показали, что разнообразие динамики, наблюдаемое в нелинейных системах можно свести к достаточно простым режимам, связанным с некоторыми повторяющимися для самых различных систем характерными типами решений. Эти характерные решения обладают важным свойством инвариантности. Более того, к ним притягиваются многие другие решения исследуемой системы.

Знание таких решений -- аттракторов -- позволяет получить представление об общей качественной картине динамики исследуемой нелинейной системы.

Изменение параметров системы меняет расположение аттракторов.

В ряде случаев форма аттрактора изменяется качественным образом. В этом случае говорят, что в системе произошла бифуркация.

Каждая бифуркация -- это радикальное изменение в динамике системы, сопровождающаяся исчезновением одних и появлением других, принципиально новых, режимов функционирования.

Одним из классических сценариев подобных преобразований служит цепочка бифуркаций: равновесие (точка покоя) -- периодический режим (предельный цикл) -- хаотический режим (странный аттрактор).

Каждый переход в этой цепи сопровождается потерей устойчивости простого аттрактора и появлением нового более сложного.

Таким образом, решение задачи отыскания у исследуемой системы аттракторов и последующий анализ их устойчивости является важнейшим шагом в понимании тонких механизмов ее динамики.

В бесконечном многообразии явлений окружающего мира человек всегда выделял простое и сложное, упорядоченное и непредсказуемое, однозначно определенное и случайное. Явления первого типа составляют мир порядка, а все остальное относилось к зоне хаоса. Развитие наук, выявляя неизвестные ранее закономерности явлений, относящихся к зоне хаоса, позволяло переводить эти закономерности в зону порядка.

Классическими математическими моделями для процессов, наблюдаемых в природе, стали дифференциальные и разностные уравнения. Закон, выраженный таким уравнением, позволял по известному начальному состоянию исследуемой системы однозначно определять ее состояние в любой последующий момент времени. Успехи механики и электродинамики, опирающиеся на уравнения Ньютона--Максвелла, в решении задач описания движения материальных тел и электромагнитных процессов позволяли надеяться сделать предсказуемыми явления не только в этих классических разделах естествознания, но и в таких важных областях, как экономика, химия и биология. Казалось, дело за немногим: выявить закономерности, лежащие в основе этих, еще мало изученных процессов, записать найденные законы в виде дифференциальных или разностных уравнений и... будущее предстанет перед нами с полной определенностью. Эти слова Лапласа, основоположника идеи детерминизма, рисовали счастливое будущее, когда наконец воцарится желанный порядок, а хаос останется лишь как воспоминание о далеком прошлом, когда цивилизация делала свои первые шаги.

реальностью. В 60-х годах прошлого века были обнаружены весьма простые по форме записи динамические модели, имеющие чрезвычайно сложное поведение. Хаос появлялся там, где его никак не ждали. Оказалось, что дифференциальные (модель Лоренца конвективных потоков) и разностные (модель Ферхюльста изолированной популяции) уравнения, задаваемые простейшими квадратичными функциями, при сколь угодно малых изменениях их параметров, могут резко менять характер своих решений и от упорядоченных регулярных движений (положение равновесия или периодические колебания) переходить к хаотическим с непредсказуемой динамикой. Таким образом, было установлено, что существуют динамические системы, поведение которых фактически нельзя проследить на достаточно широком промежутке времени ввиду чрезвычайно сильной неустойчивости основных характеристик системы. К концу прошлого века возникла теория динамического хаоса, которая позволяет в некоторых ситуациях описать универсальные сценарии перехода от упорядоченного поведения системы к хаосу и наоборот. Было установлено, что хаотическое поведение присуще многим развивающимся системам с нелинейной динамикой и что хаос --- достаточно глубокая характеристика природных явлений. Характерным примером проявления этого феномена является упомянутый выше переход от регулярных режимов (устойчивые равновесия или циклы) к нерегулярным -хаотическим. Значительный всплеск интереса исследователей к хаотическим динамическим системам возник после выхода работ М. Фейгенбаума в конце 70-х годов прошлого столетия, который, исследуя простейший итерационный процесс с квадратичной нелинейностью, обнаружил хаотическое поведение итераций и нашел две универсальные константы, характеризующие поведение целого класса динамических систем, включая систему Лоренца. Было обнаружено, что аттракторы (предельные точки квадратичного итерационного процесса, моделирующего изменение численности отдельной популяции) в бесконечной цепи бифуркаций (удвоение периода) образуют самоподобные (фрактальные), структуры с величиной скейлинга, равной 2-й универсальной константе Фейгенбаума.



Знакомство с отмеченным кругом явлений нелинейной динамики, освоение методов их математического моделирования и компьютерного анализа представляется важной обязательной компонентой современного университетского образования студентов естественно научных направлений математиков, физиков, химиков и биологов.

Курс состоит из двух частей, разделенных на лекции, и организован следующим образом.

Часть 1 целиком посвящена стохастическим дифференциальным уравнениям. Исходной формальной конструкцией здесь является винеровский процесс. Этот процесс моделирует возможные случайные возмущения, действующие на динамическую систему в процессе ее функционирования. Решением соответствующего стохастического дифференциального уравнения является случайный процесс. Здесь вводится необходимый аппарат стохастического анализа -- теория стохастического интегрирования.. На фоне традиционных свойств классического интегрирования рассматриваются основные особенности стохастических интегралов Ито и Стратоновича. Важную роль в понимании специфики стохастического анализа играет формула Ито. Наряду с ее формальным выводом обсуждается ее содержательный смысл. В качестве ее важнейшего приложения дается вывод прямого уравнения Колмогорова для эволюции плотности распределения.

устойчивости. Важным этапом любого исследования стохастической динамики является компьютерное моделирование решений стохастических уравнений. В курсе излагаются базовые численные методы решения стохастических дифференциальных уравнений.

Часть 2 целиком посвящена дискретным динамическим системам.

В центре внимания переход от порядка к хаосу через цепочку бифуркаций удвоения периода. Вводятся базовые понятия равновесия, циклов, приводятся методы анализа их устойчивости, детально исследуется механизмы бифуркаций удвоения периода. Определяются универсальные константы, демонстрируются свойства самоподобия и фрактальный характер странных аттракторов.

стохастических и хаотических процессов для защиты информации.

Рассматриваются основные проблемы и методы кодирования сообщений с помощью хаотических генераторов.

Курс рекомендован студентам естественно-научных факультетов университета для первоначального знакомства со стохастической динамикой.

Дается введение в проблематику курса и его содержание.

Лекция 2. Броуновское движение и его модель – винеровский процесс.

В излагаемом материале следует обратить внимание на связь математическими характеристиками винеровского процесса. Разобраться с отличием винеровского процесса от гладких функций. Убедиться, что винеровский процесс имеет неограниченную вариацию. Обратить внимание на вероятностные характеристики винеровского процесса, особенно на свойство независимости его приращений.

Лекция 3. Стохастический интеграл Ито.

винеровскому процессу. Обратить внимание на выбор точек на каждом интервале разбиения. Убедиться, что для винеровского процесса классический интеграл Римана-Стилтьса не существует. Разобрать свойства сигма-алгебр, порожденных случайными процессами. Выделить специфические свойства стохастических интегралов. Разобрать пример вычисления стохастического интеграла Ито от винеровского процесса по винеровскому процессу.

Лекция 4,5. Стохастические дифференциальные уравнения. Теорема существования и единственности.

Здесь вводятся основные конструкции теории стохастических дифференциальных уравнений. Обратить внимание, что интегральная форма записи стохастической задачи Коши является базовой. При этом запись в дифференциалах носит чисто формальный характер. Выделить схожие черты и отличия с соответствующей детерминированной теории. В доказательстве теоремы существования и единственности проследить, как используются свойства винеровского процесса..

Лекция 6. Формула Ито.

Данная формула занимает центральное место в стохастическом анализе. В излагаемом материале следует обратить внимание на ее отличие от формулы производной сложной функции классического анализа.

Разобрать вариант формулы Ито для многомерных стохастических дифференциальных уравнений.

Лекция 7.. Прямое уравнение Колмогорова.

распределения случайного процесса – решения стохастического дифференциального уравнения. Обратить внимание на устройство сопряженного оператора и способ перехода от интегрального уравнения к дифференциальному.

Лекция 8.. Устойчивость стохастических систем.



Pages:     || 2 |
 

Похожие работы:

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Уральский государственный университет им. А. М. Горького ИОНЦ Информационная безопасность Математико-механический факультет Кафедра алгебры и дискретной математики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС Математическая логика и теория алгоритмов _ Методические указания Автор: доцент кафедры алгебры и дискретной математики А. П. Замятин Екатеринбург 2008 Методические указания Указания...»

«Б А К А Л А В Р И А Т Л.Д. Столяренко, С.И. Самыгин Рекомендовано ФГБОУ ВПО Московский педагогический государственный университет в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по направлению 080400 Управление персоналом Регистрационный номер рецензии № 015 от 08.02.2013 ФГАУ ФИРО КНОРУС • МОСКВА • 2014 УДК 316.6(075.8) ББК 88.5я73 С81 Рецензенты: Г.Ф. Карпова, заведующая кафедрой психолого-педагогических и лингвистических основ архитектурно-художественного образования...»

«Выпуск №15 МР ЯЭ 1.08 ПОЛЬЗОВАТЕЛЮ С И З безопасной эксплуатации средств индивидуальной защиты (СИЗ) от падения с высоты и средств малой механизации (СММ) при работе на высоте. Ярославль 2011 г. Выпуск № 15 безопасной эксплуатации средств индивидуальной защиты (СИЗ) от падения с высоты и средств малой механизации (СММ) при работе на высоте. МР ЯЭ 1.08 УТВЕРЖДЕНО Приказом № 18 от 20 февраля 2011г. по Ярославскому ЭМЗ ПОЛЬЗОВАТЕЛЮ С И З ББК 65.9/2/ - МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ по безопасной...»

«МИНИСТЕРСТВО ПРИРОДНЫХ РЕСУРСОВ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ЛЕСНАЯ СЛУЖБА В.К. ТУЗОВ, Э.М. КАЛИНИЧЕНКО, В.А. РЯБИНКОВ МЕТОДЫ БОРЬБЫ С БОЛЕЗНЯМИ И ВРЕДИТЕЛЯМИ ЛЕСА Учебное пособие Допущено Государственной лесной службой Министерства природных ресурсов Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов средних специальных учебных заведений по специальности 2604 Лесное и лесопарковое хозяйство Москва 2003 2 УДК 630(07):630*41 Рецензенты: Г.С. Додонова – преподаватель...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕТРОЗАВОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ПетрГУ) БЕЛЯКОВ Ю.С. ИЗБРАННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКИ Учебное пособие Раздел 2. Методы математического анализа электроэнергетических систем Петрозаводск Издательство ПетрГУ 2013 1 УДК 517.53 ББК Б Рецензенты: ст. научный сотрудник института прикладных математических исследований...»

«Министерство образования и наук и Российской Федерации ООО Химфарммаркет АНО Центр социальных исследований и инноваций Методические материалы, обобщающие опыт апробации и внедрения ЧГП в отечественной практике (материалы для подготовки управленческих кадров субъектов Российской Федерации, отобранных для пилотного внедрения ЧГП) Москва 2009 год 1 Настоящие методические материалы, обобщающие опыт апробации и внедрения частно-государственного партнерства в общем, дошкольном и дополнительном...»

«Министерство образования и науки Украины Севастопольский национальный технический университет АНАЛИЗ И СИНТЕЗ ЭЛЕМЕНТОВ И СОЕДИНЕНИЙ ПРИБОРОВ Методические указания к практическим занятиям по дисциплине Конструирование элементов, приборов и систем для студентов дневной и заочной форм обучения специальности 7.090901 Приборы точной механики Севастополь Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) УДК 681.2 : 620.1.08(7) Анализ и синтез элементов и...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Сыктывкарский лесной институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный лесотехнический университет им. С. М. Кирова (СЛИ) Кафедра электрификации и механизации сельского хозяйства ТРАКТОРЫ И АВТОМОБИЛИ Учебно-методический комплекс по дисциплине для студентов специальности 110301 Механизация сельского хозяйства всех форм обучения...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Московский физико-технический институт (государственный университет) Э.М. Трухан ВВЕДЕНИЕ В БИОФИЗИКУ Рекомендовано Учебно-методическим объединением высших учебных заведений Российской Федерации по образованию в области прикладных математики и физики в качестве учебного пособия МОСКВА 2008 УДК 577.3 ББК я73 Т77 Рецензенты: Кафедра бимедицинских технолоший Московского Государственного Технического...»

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Казанский государственный технологический университет БЕЗОПАСНОСТЬ ЖИЗНЕДЕЯТЕЛЬНОСТИ Методические указания к контрольной работе № 2 2008 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Казанский государственный технологический университет БЕЗОПАСНОСТЬ ЖИЗНЕДЕЯТЕЛЬНОСТИ Методические указания к контрольной...»




 
© 2013 www.dis.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.