WWW.DIS.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |

«ИОНЦ Бизнес - информатика Математико-механический факультет Кафедра вычислительной математики МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ЭКОНОМИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ Учебно-методическое пособие ...»

-- [ Страница 1 ] --

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Уральский государственный университет им. А.М. Горького»

ИОНЦ «Бизнес - информатика»

Математико-механический факультет

Кафедра вычислительной математики

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ЭКОНОМИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ

Учебно-методическое пособие Екатеринбург 2007 Методическое пособие подготовлено кафедрой вычислительной математики Данное пособие предназначено для студентов специальности «Бизнес – информатика» дневной формы обучения. В нем рассматриваются актуальные экономические модели, их реализация с помощью математических методов. Приведен необходимый минимум теоретического материала по курсу «Численные методы» и рассмотрено достаточное количество примеров, что поможет студентам в самостоятельной работе по освоению данного курса и будет полезно при выполнении лабораторных работ.

© Коврижных А.Ю, Конончук Е.А., Лузина Г.Е.

Введение.

Моделирование является одним из методов научного познания. Математическая модель позволяет экономить материальные ресурсы и предоставляет возможность изучать поведение системы в заданных экспериментатором условиях. Использование математических методов в экономике восходит к работам Ф. Кенэ («Экономическая таблица»), А. Смита (классическая макроэкономическая модель), Д. Риккардо (модель международной торговли). Моделированию рыночной экономики посвящены работы Л. Вальраса, О. Курно, В. Парето. С применением математических методов связаны работы В.В. Леонтьева, Р. Солоу, П. Самуэльсона, Д. Хикса, В.С Немчинова, В.В Новожилова, Л.В. Канторовича и многих других выдающихся ученых.

Примерами экономических моделей являются являются модели фирмы, модели экономического роста, модели потребительского выбора, модели равновесия на финансовых и товарных рынках. Построение экономической модели требует выполнения ряда шагов. Сначала формулируется предмет и цель исследования. Затем экономисты выявляют структурные и функциональные элементы модели, взаимосвязи между ними, существенные факторы, отвечающие цели исследования и отбрасывают то, что несущественно для решения задачи. На заключительном этапе проводятся расчеты по математической модели и анализ полученного решения. Именно на завершающем этапе применяются численные методы.

0.Математические модели в экономике В данном разделе на материале ряда экономических моделей иллюстрируется применение методов численного решения нелинейных уравнений, систем алгебраических уравнений, численного интегрирования и методов решения дифференциальных уравнений.

0.1. Статические балансовые модели Системы линейных алгебраических уравнений применяются в макроэкономике для проведения балансового анализа многоотраслевого хозяйства. Цель балансового анализа — ответить на вопрос, каким должен быть объем производства каждой из отраслей хозяйства, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? Предполагается, что каждая отрасль выступает одновременно как производитель некоторого вида продукции и как потребитель продукции других (в том числе своей) отраслей. Процесс производства рассматривается за некоторый период времени, например, за год.

Предположим, что производственная сфера хозяйства состоит из n отраслей. Каждая из этих отраслей производит однородный продукт. Часть продукции идет на производственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для потребления вне сферы материального производства. Далее примем следующие обозначения: xi — общий объем продукции i – й отрасли (или её валовой объем), i=1,2,…,n; xij — объем продукции i – й отрасли, потребляемый j – й отраслью в процессе производства, i,j=1,2,…,n; yi — объем продукции i – й отрасли, предназначенный к потреблению в непроизводственной сфере (объём конечного потребления). В этот объём входят личное потребление граждан, создаваемые хозяйственные запасы, экспорт, инвестиции, обеспечение общественных потребностей. Уравнения баланса выражают тот факт, что валовой выпуск xi расходуется на производственное потребление, равное хi1 + хi 2 +... + хin и непроизводственное потребление, равное yi. Таким образом, имеем n xi = хij + yi, i = 1,..., n. (0.1.1) j = В зависимости от того, в каких единицах измерения записываются соотношения баланса, различают натуральный или стоимостной межотраслевые балансы.

Рассмотрим величины xij aij =, i, j = 1,..., n, (0.1.2) xj которые называют коэффициентами прямых затрат. Дело в том, что эти величины остаются постоянными в течение ряда лет, поскольку технологии производства также остаются постоянными или мало меняются за указанный промежуток времени. На это важное обстоятельство было указано В. Леонтьевым при исследовании развития американской экономики в предвоенный период.

Согласно предположению (0.1.2) уравнения (0.1.1) принимают вид n xi = aij x j + yi, i = 1, 2,..., n. (0.1.3) j = Записывая (0.1.3) в матричной форме получаем x = Ax + y, (0.1.4) где Обозначая символом E - единичную матрицу, получаем Если существует обратная матрица ( E A) 1, то из (0.1.5) следует равенство Решение системы (0.1.4) требует применения численных методов.

Из экономического смысла задачи вытекает, что все компоненты матрицы A и вектора y являются неотрицательными ( A 0, y 0 ). Все компоненты вектора x также должны быть неотрицательны ( x 0 ).



Матрица A называется продуктивной, если для любого вектора y 0 существует решение x 0 уравнения (0.1.4). При этом модель Леонтьева называется продуктивной.

Справедливы следующие критерии.

1) Матрица A 0 продуктивна тогда и только тогда, когда матрица ( E A) 1 существует и неотрицательна.

2) Матрица A 0 продуктивна тогда и только тогда, когда сходится бесконечный ряд Доказывается, что если бесконечный ряд (из матриц) сходится, то его сумма есть матрица ( E A) 1. Отметим, что если сумма элементов любого столбца неотрицательной матрицы меньше 1, то матрица А продуктивна. Действительно, пусть q – наибольшая из указанных сумм, q 1. Тогда все элементы матрицы не превосходят q. Оценим элемент матрицы A Аналогично получаем, что ( A3 )ij q 3, и т.д. Значит ряд (0.1.7) сходится и матрица A продуктивна.

0.2. Некоторые модели экономической динамики Динамические модели характеризуют изменение экономических процессов во времени. Моделирование может осуществляться с использованием дискретного и непрерывного подхода. В настоящем разделе даются два примера такого моделирования. Эти примеры являются абстрактными.

Однако в рассматриваемых случаях их решение может быть найдено в явном виде, что позволяет проанализировать особенности поведения решения для различных случаев соотношения параметров моделирования.

Эта модель объясняет феномен регулярно повторяющихся циклов изменения объемов продажи и цен товаров на рынке. Хорошо известно, что основными категориями рыночных отношений являются спрос и предложение. Эти категории зависят от многих факторов, главным из которых является цена товара. Примем обозначения. Пусть p – цена товара (от английского price - цена), d –объем спроса (demand – спрос), s – предложение (supply). Предполагаем, что s(p) и d(p) являются непрерывными функциями, при этом, если цена p – мала, то d ( p ) s ( p ) 0 (спрос превышает предложение), а при больших ценах d ( p ) s ( p ) 0 и предложение превышает спрос. При данных предположения существует равновесная цена p*, удовлетворяющая равенству d ( p* ) = s ( p* ).

Паутинная модель рынка – простейшая модель поиска равновесной цены.

Отметим сразу, что с математической точки зрения, решение уравнения может быть проведено методом простой итерации при сведении его к виду и получению последовательных приближений Так, если ( p ) - дифференцируемая функция и ( p) 1, то lim pn = p*. Однако, переход от уравn нения (0.2.1) к уравнению (0.2.2) может быть осуществлен множеством способов, и теперь уравнение (0.2.2) представляет собой описание модели рынка с уже другими функциями спроса и предложения d ( p) = p, s ( p) = ( p), хотя и с той же равновесной ценой p*. Поэтому, такой подход целесообразен лишь для поиска равновесной цены, но не является приемлемым для исследования циклов изменения объемов продажи и цен исходной модели с уравнением (0.2.1).

Предположим, производители определяют величину объема производства (предложение объема товара) в текущем году на основе цен, установившихся в предшествующем периоде. Например, площадь, отводимую под посев зерновых культур, выбирают в зависимости от цены, сложившейся в предыдущем году. Таким образом, в функции предложения должен быть учтен временной лаг продолжительностью в единицу времени (в данном случае год). Действительно, предложение появится на рынке по окончании данного цикла, т.е., через год после принятия решения. Согласно данным предположениям опишем динамику цены уравнениями где первое из уравнений как раз учитывает временной лаг в предложении. Справедливо равенство Проиллюстрируем применение данного подхода на конкретных примерах. Пусть теперь заданы функции где ( p ) - заданная непрерывная функция, c 0, e 0 - заданные параметры, такие, что существует равновесная цена p*. Следуя уравнениям (0.2.4) - (0.2.5) динамики построим последовательности {qn } и {pn } (здесь n = t и обозначает дискретные моменты времени). Построение будет происходить рекуррентно в согласии с (0.2.6) – (0.2.7), и выбранным начальным значением q0 по следующим формулам:

и так далее. Возможные значения qi и pi, i = 1, 2,... показаны на рисунке 1.

тогда рекуррентные соотношения, приведенные выше, позволяют получить явные формулы для элементов qi, i = 1, 2,... :

и, наконец, При этом справедливо равенство pn =. Возможны случаи.

1) Если l 1, то справедливо равенство В этом случае равновесие является устойчивым.

2) При l = 1 получаем и так далее. Здесь значения qi чередуются вокруг равновесного состояния.

Если l 1, то {qn } расходится и равновесие не является устойчивым.

Дифференциальные уравнения в экономической динамике Рассмотрим простейшие модели экономического роста.

Пусть некоторая отрасль производит продукцию, объём которой x(t) реализуется к моменту времени t. Предположим, что вся продукция реализуется по фиксированной цене p (рынок в этом случае ненасыщаем). Тогда доход отрасли к моменту времени t составит Далее обозначим символом I(t) величину инвестиций и предположим, что скорость выпуска продукции пропорциональна величине инвестиций При этом величина инвестиций есть фиксированная часть дохода, а значит Здесь m – норма дохода инвестиций, постоянная величина, 0 m 1.

Непосредственно из (0.2.9) с учетом (0.2.8) и (0.2.10) получаем дифференциальное уравнение Решение этого уравнения можно найти по формуле В условиях конкурентного рынка естественно предполагать, что кривая спроса p = p (x) является функцией убывающей. Действительно, с увеличением объема произведенной продукции её цена падает в результате насыщения рынка. Получаем уравнение После разделения переменных получаем Аналитически вычислить интеграл в (0.2.13) не всегда представляется возможным (все зависит от вида функции p = p(x) ). Это означает, что при решении уравнения (0.2.12) в общем случае, необходимо применять численные методы интегрирования.

Проанализируем поведение решения x = x(t ) уравнения (0.2.12). Дифференцируя по времени, имеем Принимая во внимание определение эластичности спроса относительно цены, которое задается формулой запишем (0.2.14) в виде Условие x = 0 означает, что E p ( x) = 1. Возможны случаи:

1) E p ( x) 1, x 0 - спрос эластичен.



Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |
 

Похожие работы:

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ В. М. Меньщиков, В. М. Тешуков ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Учебное пособие Новосибирск 2012 УДК 533 ББК 22.253.3 М. Меньщиков В. М., Тешуков В. М. Газовая динамика. Задачи и упражнения. 2-е изд. / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2012. 132 с. ISBN. В учебном пособии по теоретической газовой динамике рассматриваются следующие вопросы: элементы термодинамики, законы сохранения и соотношения на сильных...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Уральский государственный университет им. А.М. Горького ИОНЦ Физика в биологии и медицине Математико-механический факультет Кафедра вычислительной математики МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БИОЛОГИЯ Методические указания по изучению специальной дисциплины Руководитель ИОНЦ А.Н. Бабушкин Екатеринбург 2007 УТВЕРЖДАЮ Руководитель ИОНЦ Физика в биологии и медицине А.Н. Бабушкин (подпись) (дата)...»

«УЧЕБНОЕ НАГЛЯДНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ, КУЛЬТУРЫ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЛМЫКИЯ МИНИСТЕРСТВО ПРИРОДНЫХ РЕСУРСОВ И ОХРАНЫ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ РЕСПУБЛИКИ КАЛМЫКИЯ БОУ ДОД РК ЭКОЛОГО-БИОЛОГИЧЕСКИЙ ЦЕНТР УЧАЩИХСЯ РЕДКИЕ ПТИЦЫ КАЛМЫКИИ И ИХ ОХРАНА учебное наглядное пособие для школьников г. ЭЛИСТА 2012 Издание поддержано проектом ПРООН/ГЭФ/Минприроды России Совершенствование системы и механизмов управления ООПТ в степном биоме России, Министерством природных ресурсов и охраны...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.П. АСТАФЬЕВА Н.В. Полева БИОХИМИЯ Учебное пособие для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 032101 Физическая культура и спорт КРАСНОЯРСК 2009 1 ББК 28.072я73 П49 Печатается по решению редакционно-издательского совета ГОУ ВПО Красноярский государственный педагогический университет им. В. П. Астафьева Рецензенты: Киршина Е.Д., канд. пед. наук, доцент Наймушина...»

«ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕРИАЛОВЕДЕНИЕ Омск 2010 3 Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) Кафедра Строительные материалы и специальные технологии ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕРИАЛОВЕДЕНИЕ Составители: В.А. Иванцов, Е.В. Гурова Омск СибАДИ 2010 4 УДК 620.1 ББК 30.121 Рецензент канд. техн. наук В.Г. Малофеев (СибАДИ) Работа одобрена научно-методическим советом специальности 270106 в качестве...»

«1 Министерство транспорта Российской Федерации НОВОСИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ВОДНОГО ТРНСПОРТА Я.Н. Поликарпова Методическое пособие по изучению курса Экономика для студентов гидротехнического факультета очной формы обучения Новосибирск 2005 2 ББК УДК В учебно-методическом пособии систематизированы и кратко изложены важнейшие понятия микро – и макроэкономики. Знакомство с ними и решение предложенных задач поможет студентам полнее разобраться в механизме работы современной рыночной...»

«МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И ТЕЛЕВИДЕНИЯ Кафедра механики Прикладная механика Методические указания по выполнению расчетно-графических работ по разделу Детали машин для студентов ФФиТРМ по направлению подготовки 240100 Химическая технология (квалификация – бакалавр) Санкт-Петербург 2011 1 Составители – профессор Белоусов...»

«Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова Химический факультет А. Я. Борщевский СТРОЕНИЕ АТОМНЫХ ЧАСТИЦ Водородоподобные атомы Учебное пособие Москва 2010 2 УДК 54(075.8) Борщевский А. Я. Строение атомных частиц. Водородоподобные атомы Москва, 2010, 86 с. Утверждено методической комиссией кафедры физической химии химического факультета МГУ. Пособие предназначено для студентов физических и химических факультетов университетов. Любые объяснения химических явлений неизбежно...»

«СРЕДНЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ Г.Ф. Быстрицкий Общая энергетика Допущено Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов образовательных учреждений среднего профессионального образования Рекомендовано Учебно-методическим советом Института электротехники МЭИ (ТУ) в качестве учебного пособия для студентов электротехнических специальностей вузов по направлению обучения Электротехника, электромеханика и электротехнологии Второе издание, исправленное и...»

«ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра химии КОРРОЗИЯ И ЗАЩИТА МЕТАЛЛОВ Методические указания для студентов 1 курса дневной и заочной форм обучения Казань 2005 УДК 546(076) Коррозия и защита металлов: Методические указания для студентов первого курса дневной и заочной форм обучения / В.А. Бойчук, Н.С. Громаков: Казанский гос.архитектурно-строительный университет. Казань, 2005. 28с. В...»




 
© 2013 www.dis.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.