WWW.DIS.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     || 2 | 3 |

«Методические указания по математическому анализу для студентов второго курса ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА Второе издание Москва 2001 Составитель: Л.И.Коваленко УДК 517 Методические ...»

-- [ Страница 1 ] --

Министерство образования Российской Федерации

Московский физико-технический институт

Кафедра высшей математики

Методические указания

по математическому анализу

для студентов второго курса

ЭЛЕМЕНТЫ

ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА

Второе издание

Москва 2001

Составитель: Л.И.Коваленко

УДК 517

Методические указания по математическому анализу для студентов второго курса. Элементы векторного анализа. МФТИ, 2001.

Излагаются основные понятия векторного анализа, формулы Остроградского–Гаусса и Стокса, приемы набла-техники. Доказываются первая и вторая формулы Грина в пространстве. Все демонстрируется на задачах, решение которых приводится. Система координат предполагается декартовой прямоугольной, причем правой.

В настоящее издание добавлено несколько задач, требующих умения работать с терминами поля как в векторной, так и в координатной форме.

Внесены другие изменения.

Автор выражает глубокую благодарность чл.-корр. РАН Л.Д. Кудрявцеву, проф. М.И. Шабунину, чл.-корр. РАО Г.Н. Яковлеву, чьи отличные лекционные курсы математического анализа послужили основой для написания данного учебного пособия.

Автор благодарит О.А.Пыркову и Д.А.Терешина за предложения и замечания, которые были учтены при подготовке этого издания.

ОГЛАВЛЕНИЕ

§ 1. Скалярные и векторные поля. Производная по направлению и градиент скалярного поля.......... § 2. Дивергенция и поток векторного поля. Формула Остроградского–Гаусса в терминах поля....... § 3. Соленоидальные векторные поля............ § 4. Циркуляция векторного поля. Потенциальные векторные поля........................ § 5. Ротор векторного поля. Формула Стокса в терминах поля............................. Механический смысл ротора............... § 6. Однократное применение оператора Гамильтона...

Правила работы с Градиент одного вектора по другому.......... § 7. Повторное применение оператора Гамильтона.... Формулы Грина в R3................... Список литературы.................... 4 Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа § 1. Скалярные и векторные поля.

Производная по направлению и градиент скалярного поля Определение 1. Говорят, что в области G задано скалярное (или векторное) поле, если каждой точке M G поставлено в соответствие некоторое число F (M ) (или вектор a(M )).

Поле температуры внутри некоторого нагретого тела — это скалярное поле. Поле гравитационное — векторное поле.

Если дано некоторое скалярное или векторное поле в области G R3, то, введя систему координат, можно представить скалярное поле в виде некоторой функции F (x, y, z), а векторное поле — в виде вектор-функции a = = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)).

Пусть в области G R3 задано скалярное поле f (M ).

Проведем луч через точку M0 G в направлении вектора l, |l| = 1.

Определение 2. Производной скалярного поля f в точке M0 по направлению l называется предел f (M ) f (M0 ) f (M0 ) = lim, M0 M = tl, t 0, (1) l t t+ если он существует.

Введя систему координат, представим заданное скалярное поле в виде функции f (x, y, z).

Величину, задаваемую формулой (1), называют производной функции f (x, y, z) по направлению l.

Утверждение 1. Если функция f (x, y, z) в точке M дифференцируема, то она в этой точке имеет производную по любому направлению l и эта производная находится по формуле § 1. Скалярные и векторные поля f f f f (M0 ) = (M0 ) cos + (M0 ) cos + (M0 ) cos, (2) l x y z где cos, cos, cos — направляющие косинусы вектора l.

Пусть функция f (x, y, z) дифференцируема в области G.

f f f Определение 3. Вектор,, называется градиентом скалярного поля f, или градиентом функции f (x, y, z), и обозначается grad f.

Операцию перехода от скалярного поля f к grad f обочитается «назначают, следуя Гамильтону, символом бла») и называют оператором «набла», или оператором Гамильтона. Таким образом, по определению Формулу (2) можно переписать в следующем виде, учитывая, что |l| = 1:

где — угол, образованный l и grad f в точке M0. Отсюда следует, что если | grad f (M0 )| = 0, то в точке M0 производная функции f по направлению достигает наибольшего значения только по направлению grad f (cos = 1), при этом Итак, в каждой точке, в которой | grad f | не равен нулю, направление grad f — это направление наибольшего роста f (оно единственно), а длина его равна скорости возрастания f по этому направлению.

Если | grad f | = 0 в данной точке, то в этой точке производные функции f по всем направлениям равны нулю.

Таким образом, установлено, что градиент скалярного поля зависит лишь от самого поля, но не от выбора системы координат.

Пусть | f (M0 )| = 0. Пусть f (x, y, z) = C — поверхЛ.И. Коваленко. Элементы векторного анализа ность уровня в точке M0. Уравнение касательной плоскости в точке M0 к этой поверхности имеет вид Из этого равенства следует, что если | grad f | в точке не равен нулю, то grad f направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через эту точку.

Все изложенное переносится на случай плоского скалярного поля. Соответственно в формуле (2) будет два слагаемых, в уравнении (5) — тоже. Это — уравнение касательной к линии уровня в точке M0.



водную по направлению внутренней нормали к цилиндрической поверхности x2 + z 2 = a2 + c2 в точке M0 (a, b, c).

Р е ш е н и е. Пусть f (x, y, z) = x2 + z 2. Данная в условии поверхность — это поверхность уровня для f, проходящая через точку M0. Имеем Функция f в точке M0 растет быстрее всего по направлению grad f, значит, по направлению нормали к заданной поверхности. Исходя из вида функции f, заключаем, что это — направление внешней нормали. Следовательно, единичный вектор внутренней нормали в точке M0 будет Задача 2. Пусть a — постоянный вектор, |a| = 0, r — § 2. Дивергенция и поток. Формула Остроградского–Гаусса радиус-вектор произвольной точки M R3, проведенный из фиксированной точки O. Найти grad |[r, a]|3.

Р е ш е н и е. Введем декартову прямоугольную правую систему координат 0, i, j, k, k = |a|. Тогда имеем Далее находим (см. определение 3) grad |[r, a]|3 = 3|a|3 (x2 + y 2 )1/2 (xi + yj) = 3|a|2 |[r, a]|(r zk).

А так как z = (r, k) = r, |a|, то получим Используя формулу для двойного векторного произведения [A, [B, C]] = B (A, C) C (A, B), окончательно получаем § 2. Дивергенция и поток векторного поля. Формула Остроградского–Гаусса Определение 4. Пусть в области G R3 задано векторное поле a = (P, Q, R) с непрерывно дифференцируемыми компонентами.

Дивергенцией векторного поля a называется скалярная функция 8 Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа Задача 3. а) Вычислить div(grad f (r)), где r = x2 + y 2 + z 2, f (r) — дважды непрерывно дифференцируемая функция. б) В каком случае div grad f (r) = 0?

Р е ш е н и е. а) Вычислим grad f (r) = (P, Q, R). Имеем где r — радиус-вектор точки (x, y, z).

Для вычисления div grad f найдем вначале x. Имеем Заменяя в полученном выражении x последовательно на y, потом на z, получаем аналогичные формулы для y, б) Решаем дифференциальное уравнение постоянные, i = 1, 2.

Определение 5. Пусть в области G R3 задано векторное поле a = (P, Q, R) с непрерывными компонентами.

Пусть S — ориентированная кусочно-гладкая поверхность, лежащая в области G, — единичный вектор нормали к поверхности, задающей ее ориентацию. Интеграл § 2. Дивергенция и поток. Формула Остроградского–Гаусса называется потоком векторного поля a через поверхность S и обозначается где cos, cos, cos — направляющие косинусы нормали к поверхности S, задающей ее ориентацию.

Напомним, что система координат правая.

Пусть S — гладкая поверхность, имеющая явное представление z = f (x, y), (x, y) D, D — область на плоскости переменных x, y. Тогда поверхность S имеет векторное представление r = r(x, y) = (x, y, f (x, y)), (x, y) D.

Отметим, что угол между вектором и вектором k = (0, 0, 1) острый.

Если вектор (см. (8)) совпадает с вектором n, то вычисление интеграла в силу того, что сводится к вычислению такого двойного интеграла по области D:

10 Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа Аналогично получаются формулы для вычисления интегралов S P cos ds и S Q cos ds (см. (8)) в случае явного представления поверхности S в виде x = (y, z) — для первого интеграла и в виде y = (x, z) — для второго.

Задача 4. Вычислить поток векторного поля где cos, cos, cos — направляющие косинусы внутренней нормали к S. Имеем где (см. рис. 1) S1, S2 — части поверхности S, расположенные соответственно при y 0 и y 0, S = S1 S2 ; cos § 2. Дивергенция и поток. Формула Остроградского–Гаусса Угол между векторами и i = (1, 0, 0) острый, поэтому где D — проекция поверхности S на плоскость (y, z) (см.

рис. 2). Имеем Используя понятия дивергенции и потока векторного поля, можно формулу Остроградского–Гаусса записать в виде равенства т.е. объемный интеграл по области D от дивергенции векторного поля a равен потоку этого поля через поверхность и ориентированную внешней нор- малью.

Задача 5. Вычислить поток векторного поля a = (xz, 0, 0) через ориентированную в направле- нии внешней нормали наклонную грань S0 поверхности тетраэдра V, ограниченного плоскостями: 12 Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа Р е ш е н и е. Обозначим грани тетраэдра:

— единичные векторы внешних нормалей к Si, i = 1, 2, 3;

n0 — единичный вектор внешней нормали к S0.

По формуле Остроградского–Гаусса имеем где E(z) — сечение тетраэдра плоскостью z = C = Утверждение 2. Пусть в области G R3 определено векторное поле a(M ) с непрерывно дифференцируеСоленоидальные векторные поля мыми компонентами. Пусть точка M0 G и K — шар радиуса с центром в точке M0, K G; S — граница шара K. Тогда где — единичный вектор внешней нормали к сфере S, V — объем шара K.

Из формулы (11) следует, что дивергенция векторного поля не зависит от системы координат.

Если div a = 0 в точке M0, то, как видно из формулы (11), для всех достаточно малых шаров K с центром в точке M0 будем иметь S (a, ) ds = 0.

Если рассматривать движение несжимаемой жидкости при наличии источников, то количество вытекающей через замкнутую поверхность S жидкости, отнесенное к единице времени, называется производительностью источников, заключенных внутри S. Это есть поток вектора скорости v; div v — плотность источников.

Аналогичное имеет место для теплового потока при наличии источников тепла.

Слово «дивергенция» происходит от французского «divergence», что значит «расходимость».

§ 3. Соленоидальные векторные поля Пусть в области G R3 задано векторное поле a(M ) с непрерывно дифференцируемыми компонентами.

Определение 6. Векторное поле a, поток которого через любую кусочно-гладкую поверхность, лежащую в области G и являющуюся границей некоторой ограниченной области, равен нулю, называется соленоидальным в G.

Определение 7. Область G R3 называется объемно односвязной, если для любой ограниченной области 14 Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа D, граница которой D есть кусочно-гладкая поверхность, из условия D G следует, что D G.

Утверждение 3. Для того чтобы векторное поле a с непрерывно дифференцируемыми компонентами было соленоидальным в области G R3, необходимо, а в случае объемно односвязной области и достаточно, чтобы div a = 0 в области G.



Pages:     || 2 | 3 |
 

Похожие работы:

«База нормативной документации: www.complexdoc.ru Проект ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ СССР ПО ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИИ И КОНТРОЛЮ ПРИРОДНОЙ СРЕДЫ Институт прикладной геофизики имени академика Федорова Е.К. Главная геофизическая обсерватория имени А.И. Воейкова Государственный Ордена Трудового Красного Знамени Гидрологический институт Гидрохимический институт Институт экспериментальной метеорологии Рассмотрено и Согласовано: одобрено институтами- Директор ИПГ С.И. Авдюшин соисполнителями: Директор ГГО...»

«Литература: 1. Мазюк В.В. Расчет и оптимизация по пределу теплопереноса порошковых капиллярных структур низкотемпературных тепловых труб: [Текст] Дисс. канд. техн. наук. – Минск, 1990. – 139 с. 2. Изделия порошковые. Методы определения плотности содержания масла и пористости. ГОСТ 18898-89. – Введ. 01.01.91. – Москва: Государственный комитет СССР по стандартам, 1991. – 10 стр. 3. Материалы порошковые. Метод определения величины пор: ГОСТ 26849-86. – Введ. 27.04.89. – Москва: Государственный...»

«ПРИОРИТЕТНЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ ОБРАЗОВАНИЕ РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ Л.Е. РОССОВСКИЙ, Е.М. ВАРФОЛОМЕЕВ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ И ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ НЕЛИНЕЙНЫМИ ЛАЗЕРНЫМИ СИСТЕМАМИ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ Учебное пособие Москва 2008 Инновационная образовательная программа Российского университета дружбы народов Создание комплекса инновационных образовательных программ и формирование инновационной образовательной среды,...»

«Международный университет природы, общества и человека Дубна Кафедра Ядерной физики ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО ФИЗИКЕ ОПТИКА Дубна, 2006 Лабораторный практикум по общей физике. Оптика. / А.В. Карпов, Н.И. Ескин, И.С. Петрухин, под редакцией Г.Р. Лошкина. Технический редактор А.С. Деникин. В учебное пособие включены описания 11 лабораторных работ по общей физике (раздел Оптика). Работы и методические указания к ним разработаны сотрудниками университета Дубна и МФТИ под редакцией профессора...»

«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет радиофизики и компьютерных технологий Кафедра радиофизики и цифровых медиа технологий Учебное пособие по курсу Прикладная электродинамика автор: Демидчик Валерий Иосифович Введение ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ПОЛЕЙ, ГАРМОНИЧЕСКИ МЕНЯЮЩИХСЯ ВО ВРЕМЕНИ Для электромагнитных колебаний, используемых в радиосвязи, радиовещании, телевидении существует общепринятая система разделения и наименования частотных диапазонов. Интересующие нас в рамках...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования НАЦИОНАЛЬНЫЙ МИНЕРАЛЬНО-СЫРЬЕВОЙ УНИВЕРСИТЕТ ГОРНЫЙ УТВЕРЖДАЮ Проректор по научной работе профессор В.Л. ТРУШКО ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО СПЕЦИАЛЬНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ГЕОФИЗИКА, ГЕОФИЗИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПОИСКА ПОЛЕЗНЫХ ИСКОПАЕМЫХ, соответствующей направленности (профилю) направления подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Оренбургский государственный университет Физический факультет Университетская физическая школа А.А. ЧАКАК, Н.А. МАНАКОВ ЕГЭ 2012. ФИЗИКА РЕКОМЕНДАЦИИ. ТЕСТЫ. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ Рекомендовано к изданию Ученым советом федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Оренбургский...»

«Федеральное агентство по образованию Московская государственная академия тонкой химической технологии им. М.В.Ломоносова Кафедра химии и технологии высокомолекулярных соединений им. С.С. Медведева Каданцева А.И., Тверской В.А. УГЛЕРОДНЫЕ ВОЛОКНА Учебное пособие 2008 www.mitht.ru/e-library УДК 677.494 ББК 24.7 Рецензент: к.х.н., доц. Юловская В.Д. (МИТХТ, кафедра химии и физики полимеров и процессов их переработки) Каданцева А.И., Тверской В.А. Углеродные волокна Учебное пособие М. МИТХТ им....»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Тверской государственный технический университет Кафедра прикладной физики Физический практикум Часть 2 Методические указания к лабораторным работам по электромагнетизму Тверь 2012 УДК 537.8 (075.8) ББК 22.33.я7 Приведены описания экспериментальных установок, методов и порядка проведения лабораторных работ; методика обработки результатов экспериментов, соотношения между внесистемными единицами и единицами СИ, а также множители и приставки...»

«Федеральное агентство по образованию АМУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГОУВПО АмГУ УТВЕРЖДАЮ Зав.кафедрой ФМиЛТ _Е.С. Астапова _2007г. ТЕХНОЛОГИЯ ЛАЗЕРНОЙ ОБРАБОТКИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО ДИСЦИПЛИНЕ для специальности 010701 Физика Составители: И.В. Верхотурова, Ю.А. Петраченко Благовещенск 2007 г. Печатается по решению редакционно-издательского совета инженерно-физического факультета Амурского государственного университета И.В. Верхотурова, Ю.А. Петраченко Учебно-методический...»




 
© 2013 www.dis.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.