WWW.DIS.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     || 2 | 3 | 4 |

«В.В. Катальников Ю.В. Шапарь Сборник задач по теории вероятностей Учебное электронное текстовое издание Подготовлено кафедрой Вычислительные методы и уравнения математической ...»

-- [ Страница 1 ] --

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ»

В.В. Катальников

Ю.В. Шапарь

Сборник задач по теории вероятностей

Учебное электронное текстовое издание

Подготовлено кафедрой «Вычислительные методы и уравнения

математической физики»

Научный редактор проф., канд. физ.-мат. наук В.А. Табуева Представлены основные понятия и некоторые методы решения задач по теории вероятностей, а также подобраны варианты задач разной сложности, охватывающих все основные разделы теории.

Каждому разделу предпосланы методические указания, содержащие примеры решения задач, что позволяет учесть различный уровень подготовки студентов.

Предназначено для студентов всех форм обучения всех специальностей УГТУ-УПИ.

© ГОУ ВПО УГТУУПИ, Екатеринбург Катальников В.В., Шапарь Ю.В. Сборник задач по теории вероятностей

РАЗДЕЛ I

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

1. Элементы комбинаторики Комбинаторикой называется раздел математики, изучающий способы подсчёта числа комбинаций, которые можно составить из элементов конечных множеств. Под комбинацией мы будем понимать некоторый набор элементов данного множества.

Многие комбинаторные задачи могут быть решены с помощью двух правил правила умножения и правила сложения.

Правило умножения: если из некоторого конечного множества первый объект можно выбрать n1 способами, а второй n2 способами, то оба объекта в указанном порядке можно выбрать n1·n2 способами.

Правило сложения: если два выбора объектов взаимно исключают друг друга, причём один из них можно выполнить n способами, а другой n2 способами, то выполнить любое из этих действий можно n1+n2 способами.

Эти правила распространяются на любое конечное число объектов и операций над этими объектами.

Примеры: 1. Из группы студентов в 30 человек требуется наугад выбрать старосту и профорга. Сколько всего возможно комбинаций?

Решение. Для выбора старосты имеется 30 вариантов. Далее, профорга можно выбрать 29 способами. Следовательно, всего возможно 29·30 = 870 комбинаций.

2. Из города Е в город Ч можно добраться одним из 2 авиарейсов, либо одним из 5 поездов, либо одним из 10 автобусов. Очевидно, что из Е в Ч можно попасть 2+5+10 = 17 способами.

Определение. Размещениями из n элементов по m (0 m n ) называются такие т-элементные комбинации, выбранные из данных n элементов, которые отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения.

Число размещений находится по формуле n!

Anm = n(n 1)… (n m 1) = (1).

(n m)!

стр. 4 из ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – Катальников В.В., Шапарь Ю.В. Сборник задач по теории вероятностей Определение. Перестановками из n элементов называются размещения из n элементов по n элементов.

Число перестановок из n элементов обозначается символом Pn и вычисляется по формуле Pn = Ann = n! (2) Определение. Сочетаниями из n элементов по m называются mэлементные комбинации, выбранные из n элементов, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом (т.е. отличаются только составом элементов).

Число сочетаний находится по формуле n!

Cn = m. (3) Отсюда следуют свойства биномиальных коэффициентов Cnm :

Cn = Cnnm правило симметрии;

Если при упорядоченном выборе m элементов из n элементы возвращаются обратно, то полученные выборки называются размещениями с повторениями. Число всех размещений с повторениями из n элементов по m обозначается символом Anm и вычисляется по формуле Если при выборе m элементов из n элементы возвращаются обратно без последующего упорядочивания (таким образом, одни и те же элементы могут выниматься по нескольку раз, т.е. повторяться), то полученные выборки есть сочетания с повторениями. Число всех сочетаний с повторениями из n элементов по m вычисляется по формуле Пусть во множестве из n элементов есть k различных типов элементов, при этом 1-й тип элементов повторяется n1 раз, 2-й n раз, …, k-й nk раз, причём n1+n2+…+nk= n. Тогда перестановки элементов данного множества представляют собой перестановки с повторениями. Число перестановок с повторениями из n элементов вычисляется по формуле ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – Катальников В.В., Шапарь Ю.В. Сборник задач по теории вероятностей Все формулы можно свести в следующую таблицу Примечание. 1-я строка – без возвращений, 2-я строка – с возвращением.

1. Сколькими различными маршрутами можно разнести корреспонденцию по 5 адресам?

2. Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если: а) цифры не повторяются; б) цифры могут повторяться?

3. Студентам нужно сдать 4 экзамена за 8 дней. Сколькими способами можно составить расписание сдачи экзаменов?

4. Сколькими способами можно выбрать один цветок из корзины, в которой имеется 9 гвоздик, 15 роз и 7 хризантем?

5. В хоккейном туре участвуют 6 команд. Каждая команда должна сыграть с каждой одну игру. Сколько игр будет сыграно в турнире?

6. Из трёх классов спортивной школы нужно составить команду из трёх человек, взяв по одному ученику из каждого класса. Сколько различных команд можно составить, если в классах соответственно 18, 20 и 22 ученика?

7. Имеется 5 конвертов без марок и 4 вида марок одного достоинства. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для письма?



На десяти различных жетонах написаны буквы А, А, А, Е, И, К, М, М, Т, Т. Жетоны случайным образом перемешаны и выкладываются в ряд. Сколькими способами можно получить таким образом слово «МАТЕМАТИКА»?

9. Сколько словарей нужно издать, чтобы переводить с любого из 5 языков на любой другой из этих языков?

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – Катальников В.В., Шапарь Ю.В. Сборник задач по теории вероятностей 10. Группа туристов из 12 юношей и 7 девушек выбирает по жребию 5 человек для приготовления ужина. Сколько существует способов, при которых в эту «пятёрку» попадут:

в) 1 юноша и 4 девушки; г) 5 юношей?

11. Автомобильные номера состоят либо из трёх букв и трёх цифр, либо из двух букв и четырёх цифр. Найти число таких номеров, если используются 30 букв русского алфавита.

12. Сколькими способами можно составить дозор из трёх солдат и одного офицера, если имеется 4 офицера и 8 солдат?

13. В урне 6 белых и 4 чёрных шаров. Сколькими способами можно извлечь 2 белых и 3 чёрных шара?

14. В комнате имеется 7 стульев. Сколькими способами можно разместить на них 7 гостей? 3 гостя?

15. Группа шахматистов сыграла между собой 28 партий. Каждые два из них встречались между собой один раз. Сколько шахматистов участвовало в соревнованиях?

16. Сколькими способами можно рассадить 18 человек в 18-местном автобусе?

17. Сколько обыкновенных дробей можно составить из чисел 3, 5, 11, 13, 16, 17?

18. В урне 5 белых и 8 чёрных шаров. Сколькими способами можно выбрать: а) 2 шара разных цветов; б) 2 белых шара; в) чёрных шара?

2. Случайные события. Действия над событиями Событием (или случайным событием) называется всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

События обозначаются, как правило, заглавными буквами латинского алфавита A, B, C,….

Вероятностью события называется численная мера степени объективной возможности этого события; обозначается P( A).

Достоверным называется событие, которое в результате опыта обязательно должно произойти: P() = 1.

Невозможным называется событие, которое в результате опыта не может произойти: P() = 0.

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – Катальников В.В., Шапарь Ю.В. Сборник задач по теории вероятностей Вероятность любого события заключена между нулём и единицей Несколько событий называются несовместными, если никакие два из них не могут появиться вместе в одном опыте.

Суммой событий A и B называется событие C = A + B, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий A и B (т.е. или А, или В, или оба вместе).

Произведением событий А и В называется событие C = A B, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят оба события (т.е. и А и В вместе).

Полной группой событий называется несколько событий таких, что в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них. Иными словами, события A1, A2,…, An образуют полную группу, если A1 + A2 + … + An =.

Противоположным событию А называется событие A, которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А.

Для него справедливы тождества определение.

Множество = {i }in=1 (или = {i }i 1 ) всех возможных взаимно исключающих исходов данного опыта называется пространством элементарных событий, а сами исходы i элементарными событиями.

Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если по условиям симметрии данного опыта нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое.

19. Указать пространства элементарных событий для следующих опытов: а) подбрасывание двух игральных костей; б) стрельба по мишени до первого попадания; в) наблюдение за временем безотказной работы прибора.

20. Игральная кость бросается 1 раз. Описать пространство элементарных событий, указать элементарные события, ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – Катальников В.В., Шапарь Ю.В. Сборник задач по теории вероятностей благоприятствующие событиям: А1 = {выпало чётное число очков};

А2 = {выпало не менее 4 очков}; А3 = {выпало более 6 очков}.

21. Три студента независимо друг от друга решают одну и ту же задачу. Пусть событие А1 = {первый студент решил задачу}, А2 = {второй студент решил задачу}, А3 = {третий студент решил задачу}. Выразить через события Аi (i = 1, 2, 3) следующие события:

1) А = {все студенты решили задачу};

2) В = {задачу решил только первый студент};

3) С = {задачу решил хотя бы один студент};

4) D = {задачу решил только один студент}.

22. Электрическая цепь составлена по схемам, приведённым на рис.1. Событие Аi = {элемент с номером i вышел из строя}, i = 1, 2, 3.

Событие В = {цепь вышла из строя}. Выразить события В и B через события Ai.

3. Классическое определение вероятности Пусть производится опыт с n равновозможными исходами, образующими группу несовместных событий. Такие исходы называются элементарными исходами (событиями), случаями, шансами. Случаи, которые приводят к наступлению события А, называются благоприятными ему.

Определение. Вероятностью события А называется отношение числа m благоприятных исходов, к числу n всевозможных исходов:

Это классическое определение вероятности.

23. Игральную кость бросают дважды. Найти вероятность того, что оба раза появится одинаковое число очков.

24. В урне 3 белых и 5 чёрных шаров. Одновременно вынима-ют 3 шара. Что вероятнее: вынуть 2 белых и 1 чёрный или 2 чёрных и белый шар?

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – Катальников В.В., Шапарь Ю.В. Сборник задач по теории вероятностей 25. На карточках написаны буквы: Л, И, Т, Е, Р, А. На стол наудачу по одной выкладывают 4 карточки. Какова вероятность того, что получится слово «ТИРЕ»?

26. Из колоды карт (52 шт.) Герман наудачу выбирает три карты.

Какова вероятность того, что эти карты – «тройка», «семёрка», туз?



Pages:     || 2 | 3 | 4 |
 

Похожие работы:

«ФИЗИКА В НГУ В. В. Володин, М.И.Захаров, А.Н.Матвеенко, Г.В.Меледин, А.Г.Погосов, С.Л.Синицкий, Б.И.Хазин, В.С.Черкасский ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕИ ОЛИМПИАДНЫЕ ВАРИАНТЫ ЗАДАЧ ПО ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ 2000-2007гг 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Физический факультет В. В. Володин, М.И.Захаров, А.Н.Матвеенко, Г.В.Меледин,А.Г.Погосов, С.Л.Синицкий, Б.И.Хазин, В.С.Черкасский ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕИ ОЛИМПИАДНЫЕ ВАРИАНТЫ ЗАДАЧ ПО ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ 2000-2007...»

«1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Кемеровский государственный университет Физический факультет МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КУРСОВОЙ РАБОТЫ для специальности 010701.65 Физика и направления 010700.62 Физика Кемерово 2012 2 1. Общие положения Курсовая работа является важнейшим элементом самостоятельной работы студентов. Основной целью курсовой работы является...»

«Издания, отобранные экспертами для ЦНБ и всех институтов УрО РАН (кроме Коми НЦ) (июль 2013) Дата Институт Оценка Издательство Издание Эксперт ISBN Бординских, Г. А. Соликамская энциклопедия / Приобрести ISBN Бординских Г. А. - Пермь : Анкушкин, 2013( для ЦНБ Кусонский Олег 978-5Институт геофизики Анкушкин Тверь). - 267 с. : ил. ; 27 см. - На пер. авт. не УрО РАН 9904449- Александрович указан. - УДК 030(470.53-21) ББК 94. - РКП: (ЦБ Коми) 2- ru13-44501. - ISBN 978-5-9904449-2- Сулаберидзе, В....»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Амурский государственный университет Кафедра физики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ Основы материаловедения Основной образовательной программы по специальности: 010701.65 Физика Специализация Медицинская физика, информационные технологии в образовании и научной деятельности Благовещенск 2012 г. 1 УМКД разработан старшим...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Амурский государственный университет Кафедра Физики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ ОСНОВЫ РЕНТГЕНОСТРУКТУРНОГО АНАЛИЗА Основной образовательной программы по специальности 010701.65 - Физика Благовещенск 2012 2 СОДЕРЖАНИЕ 1. Рабочая программа учебной дисциплины 4 2. Краткое изложение программного материала 15 3 Методические указания...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Уральский государственный университет им. А.М. Горького ИОНЦ Нанотехнологии и перспективные материалы Физический факультет Кафедра компьютерной физики Фотолитография Методические указания Подпись руководителя ИОНЦ Дата Екатеринбург 2008 Методические указания по изучению специальной дисциплины Фотолитография составлены в соответствии с требованиями регионального компонента к...»

«Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования “Казанский государственный университет им. В.И.Ульянова-Ленина Физический факультет ДИФФУЗИЯ ЛИПИДОВ В БИОЛОГИЧЕСКИХ МЕМБРАНАХ Учебное пособие Казань 2006 Печатается по решению Редакционно-издательского совета физического факультета КГУ. Филиппов А.В., Рудакова М.А., Гиматдинов Р.С., Семина И.Г. Диффузия липидов в биологических мембранах. Учебное пособие для студентов третьего и четвертого курсов специализации...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации ФГАОУ ВПО УрФУ имени первого Президента России Б.Н.Ельцина В.Н. Мальцев ОПТИКА. КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ Учебно-методическое обеспечение модуля Общая физика. Дисциплина Оптика Учебное электронное текстовое издание Подготовлено кафедрой Общей и молекулярной физики Конспекты лекций, читаемых по дисциплине Оптика в рамках модуля Общая физика, для студентов второго года дневной формы обучения по направлениям бакалавриата 011200 – Физика; 011800 –...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тверской государственный университет УТВЕРЖДАЮ Декан физического факультета _ Б. Б. Педько _ 2007 г. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС по дисциплине ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для студентов 2 курса очной формы обучения специальности: 010700.62 – физика, 010704.65 – физика конденсированного состояния вещества, 010801.65 – радиофизика и электроника Обсуждено на заседании...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра технологии переработки пластмасс В.М. Балакин СЫРЬЕ И МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПРОИЗВОДСТВА ПОЛИМЕРНЫХ КОМПОЗИТОВ Методические указания по выполнению контрольных работ для студентов специализации 240502 заочной формы обучения по направлению 655100 Химическая технология высокомолекулярных соединений и полимерных материалов Екатеринбург 2008 Печатается по рекомендации методической комиссии...»




 
© 2013 www.dis.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.