WWW.DIS.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     || 2 | 3 |

«Кафедра высшей математики и физики Основы дискретной математики Часть I (теория множеств и комбинаторика) Учебно-методическое пособие для студентов I-II курсов специальностей: ...»

-- [ Страница 1 ] --

Министерство сельского хозяйства Российской

Федерации

Государственный университет по землеустройству

Кафедра высшей математики и физики

Основы дискретной математики

Часть I

(теория множеств и комбинаторика)

Учебно-методическое пособие для студентов I-II курсов

специальностей:

120301.65— «Землеустройство»

120302.65 — «Земельный кадастр»

120303.65— «Городской кадастр»

080502.65 — «Экономика и управление на предприятии»

Москва 2010 УДК 519.673 Подготовлено и рекомендовано к печати кафедрой высшей математики и физики Государственного университета по землеустройству (протокол № от 2010 г.).

Утверждено к изданию методической комиссией факультета землеустройства Государственного университета по землеустройству (протокол № от 2010 г.).

Рецензенты: к.т.н., доцент кафедры высшей математики и физики ГУЗ _ к.ф.м.н., доцент кафедры высшей и прикладной математики МИТХТ Краснослободцева Т. П.

Анисимова Т. В., Анисимов М. Н., Курочкина К. В.: Основы дискретной математики Часть I (теория множеств и комбинаторика), учебно-методическое пособие / Под ред. проф.

И. А. Соловьева, Государственный ун-т по землеустройству, – М., 2010. – с.

В предлагаемом учебно-методическом пособии рассмотрены основные определения теории множеств и понятия математической логики. Разобран ряд практических задач и приведена серия примеров для самостоятельного решения студентами. Пособие рекомендуется для самостоятельной работы студентов и подготовки к прохождению интернет-тестирования по соответствующим разделам по дисциплине математики.

Учебно-методическое пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальностям «Землеустройство», «Земельный кадастр», «Городской кадастр», «Экономика и управление на предприятии».

© Анисимова Т. В., Анисимов М. Н., Курочкина К. В. 2010.

© Государственный университет по землеустройству, 2010.

Содержание 1ВВЕДЕНИЕ

2ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

. Начальные сведения о множествах. Способы задания множеств Операции над множествами. Прямое произведение множеств. Отношение на множестве Числовая ось и множество действительных чисел

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КОМБИНАТОРИКИ

Рекомендуемая литература

ВВЕДЕНИЕ

В пособии обсуждаются основы дискретной математики – элементы теории множеств, комбинаторики, математической логики и теории графов. Выбранная тематика является актуальной по следующим причинам: логические конструкции и теоретикомножественные построения широко используются при изучении других разделов математики, в особенности теории вероятностей и статистики. Они также применяются в таких разделах прикладной математики как программирование, теория планирования, построении математических моделей в экономике и управлении, то есть в областях, востребованных современными реалиями.

Однако при изучении математики в вузах на нематематических специальностях указанным разделам по понятным причинам уделяется не слишком много времени.

Предлагаемое учебно-методическое пособие состоит из трех самостоятельных модулей, каждый из которых посвящен определенной теме. Оно предназначено для самостоятельной проработки студентами соответствующих разделов. В части I в лаконичной и доступной форме описываются основные понятия теории множеств, приводится большое количество иллюстрированных примеров. Предложенный материал может служить для заинтересованных студентов основой при ознакомлении с более серьезной литературой по данному вопросу.

Пособие также может быть использовано студентами различных специальностей при подготовке к интернет-тестированию по дисциплине математика.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Начальные сведения о множествах Одними из основных понятий математики являются понятия множества и его элементов. Множество, как многие базовые понятия, не имеет строгого, математически точного определения.

Основатель теории множеств Кантор определял его следующим образом: "Под множеством понимают объединение в одно общее объектов, хорошо различимых нашей интуицией или нашей мыслью".

Мы будем говорить:

Множество – это совокупность определенных объектов, имеющих некоторое общее характеристическое свойство f, по которому можно установить, принадлежит этот объект данному множеству или нет.

Множество состоит из элементов – объектов, отвечающих выбранному характеристическому свойству. Множества обычно обозначают большими латинскими буквами: A, B, C..., а элементы этих множеств маленькими: a, b, c,... Символ A a, b, c,...

означает, что множество A состоит из элементов a, b, c,.... Если a элемент множества A, то пишут a A, а если a не является элементом множества A, то пишут a A. Фраза «множество A состоит из элементов a, обладающих свойством f» записывается По числу элементов множества делятся на конечные и бесконечные.

Символ |A| обозначает количество элементов во множестве A.

Эта характеристика называется мощностью множества. Для конечного множества имеем | A |.

Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым и обозначается.

Способы задания множеств Множества могут быть заданы списком, арифметическими операциями, описанием свойств элементов или графическим представлением.



1. Задание множества списком предполагает перечисление всех его элементов. Например, если множество А состоит из букв a, b, c, d, то пишут A a, b, c, d, или если множество В включает цифры 1,2,4,5, то B 1,2,4,5. При этом порядок при перечислении элементов, (если на множестве не введено отношение порядка) не учитывается 1,2,4,5=1,4,5,2=5,1,2, 2. Задание множеств арифметическими операциями или порождающей процедурой означает описание характеристических свойств элементов множества: X x f (x), т. е. множество Х содержит такие элементы х, которые обладают свойством f(х).

B={x| x 2x+1 = 0}, то есть множество x, являющихся решениями уравнения x22x +1 = 0.

Решение: Так как уравнение x22x +1 = 0 имеет единственный корень x =1, то множество B состоит из одного элемента B = {1}.

Пример. Множество А х 0 х 5. Уравнение 0 х 5 не имеет корней, то есть множество его решений не содержит элементов, А.

3. Задание множества описанием свойств элементов:

Пример. М – множество чисел, являющихся натуральными степенями двойки, то есть М m m 2n, n N ;

D – множество натуральных чисел, делящихся на 6, то есть D m m 6n, n N. Здесь N – множество натуральных чисел.

4. При графическом задании множеств используют диаграммы Эйлера-Венна. (рис. 1).

Заданы два множества: A a, b, c и B b, d, e, f. Если элементов во множестве немного, то они могут на диаграмме указываться явно.

Здесь Е – универсальное множество. Под универсальным множеством подразумевают множество всех рассматриваемых в данной задаче элементов.

Как видно из графического примера, при рассмотрении двух или нескольких множеств между ними возникают различные соотношения. Рассмотрим некоторые из них.

Если каждый элемент множества A является элементом множества B, то говорят, что A - подмножество B и пишут A B (рис.2).

Невключение подмножества А во множество В обозначается так: A B. Принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множества.

Множество А называется собственным подмножеством множества В, если A B, а В А. Обозначается так: A B.

Если одновременно A B и B A, то множества A и B называются равными и пишут A B. (Можно сказать, что множества называются равными, если они состоят из одинаковых элементов).

Операции над множествами Над множествами любой природы можно производить операции, напоминающие операции, производимые в арифметике над числами.

1.Объединение.

Объединением множеств А и В называется множество C, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В (рис. 3). Используют обозначение ассоциативному закону:

Первое из этих равенств вытекает из определения. Второе есть следствие того, что и A (В С), и ( А В) С есть совокупность элементов, входящих хотя бы в одно из множеств: либо А, либо В, либо С. Поэтому операция объединения может быть использована для нескольких множеств: S A1 A2 A3... An, или более кратко S Ai.

Кроме того очевидно из определения объединения A А А.

Пример: Даны два множества: A,2,4,6 и B 0,3,4,6.

Найти множество C A В. C 0,1,2,3,4,6.

2. Пересечение.

Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, входящих как в множество А, так и во множество В (рис. 4). Используют обозначение С A В. Таким Эта операция также удовлетворяет коммутативному и ассоциативному закону:

Кроме того A А А.

Операция пересечения может быть использована для нескольких множеств: S A1 A2 A3... An Ai.

Пример. Найти пересечение множеств А и В, описанных в предыдущем примере.

Следуя алгебраической терминологии, объединение множеств иногда называют суммой, а пересечение – произведением.

Пример. Показать, что операции объединения и пересечения множеств удовлетворяют дистрибутивному закону:

Решение. Действительно, множество A (В С) содержит элементы, которые входят в множество А и в множество В С, то есть принадлежат А и либо множеству В, либо множеству С. Тогда они принадлежат либо А и В, либо А и С, т. е. либо А В, либо А С. Таким образом, каждый элемент A (В С) принадлежит множеству ( А В) ( А С). Наоборот, элементы ( А В) ( А С) принадлежат либо А В, либо А С, т. е. принадлежат А и либо В, либо С, т. е. A (В С).

3. Разность.

Разностью множеств А и В называется множество C, которое включает все элементы из A, не принадлежащие множеству B. Обозначение: C A \ B (рис. 5,а).

Аналогично можно построить разность множеств В \ А (рис.

5,б).

Пример. Для заданных выше множеств А и В их разности имеют вид A \ B,2, B \ A 0,3.

4. Симметрическая разность.

Симметрической разностью множеств А и В называется множество C, которое включает все элементы множества A В, не принадлежащие A В, то есть АВ ( A В) \ ( A В) (рис. 6).

Пример. Для заданных выше множеств А и В их АВ ( A В) \ ( A В) =0,1,2,3,4,6\ 0,1,2, Дополнением множества А (до универсального множества) называется множество всех элементов, не принадлежащих А, но принадлежащих универсальному множеству Е, то есть (рис. 7).

Пример. Рассмотрим множество всех натуральных чисел в качестве универсального множества Е. Пусть А – множество всех четных чисел A х х 2n. Тогда его дополнение – это множество всех нечетных чисел. A х х 2n 1.

Приоритет выполнения операций: сначала выполняются операции дополнения, затем пересечения и только потом объединения и разности. Последовательность выполнения операций может быть изменена скобками.

Задачи для самостоятельного решения.

1. В группе 35 студентов. Из них 20 посещают математический семинар, 11 – физический, 10 учащихся не посещают ни одного из этих семинаров. Сколько студентов посещают и математический, и физический семинары? Сколько студентов посещают только математический семинар?

2. Из 100 студентов потока оценку отлично по математике имеют 28 студентов, по геодезии – 30, по философии – 42, по математике и геодезии – 8, по математике и философии –10, по геодезии и философии –5, по всем трем предметам – студента. Сколько студентов не имеют пятерок ни по одному предмету?

3. Пусть А – множество корней уравнения х2-3х+2=0, а В={1,3}.

Найти А В, А В, А\В, В\А.



Pages:     || 2 | 3 |
 

Похожие работы:

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Муромский институт (филиал) Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Владимирский государственный университет Программирование на языке ассемблера Методические указания к лабораторному практикуму Часть 2 Составители: Бейлекчи Д.В. Калинкина Н.Е. Муром 2007 УДК 681.3. ББК 32.973 – 018. П Рецензент: кандидат физико-математических наук, доцент кафедры электроники и...»

«Предисловие 1 Учреждение образования БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ХИМИЯ Программа, методические указания и контрольные задания по дисциплинам Аналитическая химия, Аналитическая химия и физико-химические методы анализа для студентов химико-технологических специальностей заочной формы обучения Минск 2012 2 ПРЕдисловие УДК 543(075.4) ББК 24.4я73 А64 Рассмотрены и рекомендованы к изданию редакционноиздательским советом университета Составители: А. Е....»

«ЦЕНТРОСОЮЗ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИИ СИБИРСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОЙ КООПЕРАЦИИ ФИЗИЧЕСКАЯ И КОЛЛОИДНАЯ ХИМИЯ Методические указания и задания контрольной работы для студентов заочной формы обучения специальности 351100 Товароведение и экспертиза товаров Новосибирск 2003 Кафедра естественных наук Физическая и коллоидная химия: Методические указания и задания контрольной работы / Сост.: д-р хим. наук, профессор В. Л. Богатырев, канд. хим. наук, доцент С. А. Ивашин, ассистент О. А. Полунина. –...»

«Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра аналитической химии Хроматографические методы анализа Методические указания по разделу курса Аналитическая химия и физико-химические методы анализа для студентов химико-технологических специальностей Минск 2002 УДК 543 Рассмотрены и рекомендованы к изданию редакционноиздательским советом университета. Составители: А. Е. Соколовский, Н. А. Коваленко, Г. Н....»

«Учреждение образования Белорусский государственный медицинский университет Кафедра поликлинической терапии ТЕМА: Болезни пищевода (ГЭРБ), желудка (функциональная диспепсия, хронический гастрит, пептическая язва) и кишечника (энтеропатия, синдром раздраженной кишки). Индивидуальная комплексная терапия, клинический разбор пациентов МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ для студентов (субординаторов-терапевтов) 6 курса лечебного факультета и МФИУ Утверждено на методическом совещании кафедры _ 2012г....»

«Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Факультет естественных наук и природных ресурсов Кафедра химии и экологии УГЛЕРОД, КРЕМНИЙ Методические указания к лабораторной работе Великий Новгород 2006 Методическое руководство к лабораторной работе: Углерод, кремний Составитель: к.пед.н., ст. преподаватель Е.А. Пчелина. Великий Новгород, 2006 г.,...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Амурский государственный университет Кафедра Физики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ ОСНОВЫ РЕНТГЕНОСТРУКТУРНОГО АНАЛИЗА Основной образовательной программы по специальности 010701.65 - Физика Благовещенск 2012 2 СОДЕРЖАНИЕ 1. Рабочая программа учебной дисциплины 4 2. Краткое изложение программного материала 15 3 Методические указания...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Сыктывкарский лесной институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный лесотехнический университет имени С. М. Кирова Кафедра технологии деревообрабатывающих производств РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ ДРЕВЕСИНЫ Учебно-методический комплекс по дисциплине для студентов специальности 250403 Технология деревообработки всех форм обучения...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Уральский государственный университет им. А.М. Горького ИОНЦ Нанотехнологии и перспективные материалы Физический факультет Кафедра компьютерной физики Фотолитография Методические указания Подпись руководителя ИОНЦ Дата Екатеринбург 2008 Методические указания по изучению специальной дисциплины Фотолитография составлены в соответствии с требованиями регионального компонента к...»

«Министерство образования и науки Украины Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина А. С. Сохин, В. А. Скорик Численное решение граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений Методическое пособие курса Методы вычислений Харьков – 2013 УДК 519.624(075.8) ББК 22.193я73 С 68 Рецензенты: доктор физико-математических наук, профессор, заведующий отделом радиофизической интроскопии ИРЭ НАН Украины Масалов С. А.; кандидат физико-математических наук, доцент кафедры...»




 
© 2013 www.dis.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.