WWW.DIS.KONFLIB.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 
<< HOME
Научная библиотека
CONTACTS

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |

«МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ И ГЕОМЕТРИИ Методические указания Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ “ЛЭТИ” 2007 Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский ...»

-- [ Страница 1 ] --

Федеральное агентство по образованию

Санкт-Петербургский государственный электротехнический

университет “ЛЭТИ”

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ПО АЛГЕБРЕ И ГЕОМЕТРИИ

Методические указания

Санкт-Петербург

Издательство СПбГЭТУ “ЛЭТИ”

2007

Федеральное агентство по образованию

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет “ЛЭТИ”

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ПО АЛГЕБРЕ И ГЕОМЕТРИИ

Санкт-Петербург 2007 УДК 512 Методы решения задач по алгебре и геометрии: Методические указания / Сост.: Ю. В. Крашенинникова, А. В. Степанов. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ “ЛЭТИ”, 2007. 44 с.

Содержат определения, формулировки основных теорем и примеры решения типовых задач по темам: “Линейные пространства”, “Евклидовы пространства”, “Линейные операторы”, “Собственные числа и вектора”, “Жорданова форма” и “Квадратичные формы”, которые составляют основу II семестра курса “Алгебра и геометрия”.

Предназначены студентам I и II курсов ФКТИ. Большая часть текста может быть полезна и студентам других факультетов.

Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве методических указаний c СПбГЭТУ “ЛЭТИ”,

ПРЕДИСЛОВИЕ

В методических указаниях рассмотрены базовые понятия теории конечномерных линейных пространств и операторов в этих пространствах.

Наша основная цель – сформулировать и проиллюстрировать на примерах алгоритмы решения задач, традиционно предлагаемых студентам ФКТИ во втором семестре курса “Алгебра и геометрия”. Кроме того, авторы стремились как можно более тесно связать теорию и практику. Поэтому первая часть методических указаний содержит основные определения и формулировки основных теорем курса, а при решении задач даются ссылки на соответствующие утверждения первой части. Из соображений полноты, в первой части методических указаний приводятся не только те формулировки, которые необходимы для решения задач. Таким образом, первая часть может быть использована для повторения основных формулировок курса перед экзаменом.

Перечислим основные понятия, которые обсуждаются в методических указаниях.

1. Линейные пространства: линейная независимость, система образующих, базис и размерность пространства, сумма и пересечение подпространств.

2. Евклидовы пространства: понятие абстрактного (положительно определенного) скалярного произведения, проекция вектора на вектор, процесс ортогонализации Грама–Шмидта, решение переопределенной системы линейных уравнений (алгебраическая версия метода наименьших квадратов).

3. Линейные операторы: ядро, образ, матрица оператора.

4. Собственные числа и собственные вектора оператора.

5. Жорданова форма.

6. Квадратичные формы, уравнения кривых и поверхностей второго порядка, приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Нахождению жордановой формы матрицы отведено довольно много места, непропорционально много по сравнению со значимостью этой темы. Это обусловлено двумя причинами: во-первых, эта задача еще раз иллюстрирует важную формулу построения матрицы оператора в данном базисе; а во-вторых, при выборе алгоритма нахождения жордановой формы авторы пытались минимизировать вычислительную сложность этого алгоритма, за счет чего немного усложнилась его логика.

Предполагается, что студенты уже освоили основы матричной алгебры: умножение матриц, метод Гаусса, вычисление определителя и ранга матрицы. В большинстве решений задач матричные вычисления опущены. Кроме того, пропущены небольшие фрагменты решений, если аналогичный фрагмент уже был рассмотрен в одной из предыдущих задач.

Естественно, в соответствующем месте дается необходимая ссылка.

В тексте используются следующие обозначения и соглашения:

– R – поле вещественных чисел.

– V – линейное пространство над R.

– Rn – линейное пространство столбцов высоты n над R.

– Допуская вольность речи, элементы линейного пространства обычно называют векторами.

– По умолчанию, греческие буквы обозначают числа, строчные латинские – элементы линейного пространства и столбцы, а прописные латинские – множества (например линейные пространства), линейные операторы и матрицы.

– Из чисто эстетических соображений для обозначения столбца часто пишется строка со знаком транспонирования, например, – Единичная матрица обозначается буквой E, а тожественный оператор – буквой I (т. е. I – это оператор, заданный формулой I(x) = x). Очевидно, что матрица оператора I в любом базисе равна E, однако при первом знакомстве с предметом следует различать оператор и его матрицу.

– Пусть D – матрица размера n n, а MD обозначает оператор умножения на эту матрицу, т. е. оператор из Rn в Rn (или из Cn в Cn ), заданный формулой MD (x) = Dx. В некоторых задачах, допуская вольность записи, будем обозначать этот оператор той же буквой, что и матрицу, для того чтобы избежать громоздкого обозначения (MD )u. Таким образом, матрица оператора MD в базисе u будет обозначаться через Du. В частности, если e – стандартный базис Rn, то для любой матрицы D имеем D = De.



Часть I. Определения и формулировки теорем 1.1. Определение линейного пространства. Множество V называется линейным пространством над полем R, а его элементы векторами, если:

– задана операция сложения, которая любым двум элементам x и y из V сопоставляет элемент x + y из V, называемый их суммой;

– задана операция умножения на число, которая элементу x V и числу R сопоставляет элемент x V, называемый произведением – для любых элементов x, y, z V и любых чисел и выполнены следующие свойства:

2. существует элемент 0 V такой, что для каждого x V выполнено x + 0 = x;

3. для любого x V существует элемент x V такой, что 1.2. Определение подпространства. Подмножество U называется подпространством пространства V, если оно само является линейным пространством относительно операций сложения и умножения на число, заданных в V.

1.3. Критерий подпространства. Подмножество U является подпространством V, если для любых a, b U и F выполняется:

ства).

1.4. Линейная независимость. Набор элементов a(1),..., a(n) пространства V называется линейно независимым если уравнение имеет только нулевое решение.

1.5. Линейная оболочка. Линейной оболочкой элементов a(1),..., a(n) пространства V называется совокупность всех линейных комбинаций этих элементов, т. е. множество элементов вида 1 a(1) +· · ·+n a(n), где i F.

Эквивалентное определение: линейная оболочка – это наименьшее линейное подпространство в V, содержащее элементы a(1),..., a(n).

Линейная оболочка обозначается через a(1),..., a(n).

1.6. Система образующих. Набор элементов a(1),..., a(n) называется системой образующих пространства V, если любой вектор из V представляется как линейная комбинация этих элементов.

Эквивалентное определение: a(1),..., a(n) = V.

1.7. Базис. Упорядоченный набор (e(1),..., e(n) ) называется базисом пространства V, если набор e(1),..., e(n) является линейно независимым и системой образующих.

Эквивалентное определение: для любого x V существуют единственные 1,..., n F такие, что x = 1 e(1) + · · · + n e(n).

1.8. Координаты вектора. Пусть e = (e(1),..., e(n) ) – базис пространства V, а x = 1 e(1) +... n e(n) V. Тогда столбец (1,..., n )T называется столбцом координат x в базисе e и обозначается через xe.

1.9. Количество векторов в базисе.

Теорема. Любой базис конечномерного пространства состоит из одного и того же количества элементов.

1.10. Размерность линейного пространства. Линейное пространство V называется n-мерным, если в нем существует базис из n векторов.

При этом число n называется размерностью пространства V.

1.11. Размерность линейной оболочки столбцов (строк) матрицы равна рангу матрицы.

1.12. Теорема об изоморфизме конечномерных пространств. Любое конечномерное линейное пространство изоморфно пространству Rn для некоторого n (определение изоморфизма см. в 3.2).

Следствие. Все линейные пространства одной и той же размерности изоморфны между собой.

1.13. Cумма подпространств. Суммой U + W подпространств U и W называется совокупность всевозможных векторов вида v = u + w, где u U, w W. Сумма подпространств есть подпространство.

1.14. Пересечение подпространств является подпространством.

1.15. Прямая сумма подпространств. Пространство V называется прямой суммой подпространств U и W, если каждый элемент v V может быть единственным способом представлен в виде суммы v = u + w, где u U, а w W. Обозначение: V = U W. Эквивалентная формулировка: V = U W, если V = U + W и U V =. Если V = U W, то объединение базисов подпространств U и W есть базис пространства V.

1.16. Теорема о размерности суммы и пересечения линейных подпространств (формула Грассмана). Если U и V – подпространства линейного пространства W, то 1.17. Столбцы матрицы перехода от одного базиса к другому.

k-й столбец матрицы Cf g равен столбцу координат вектора gk в базисе f.

Одной формулой: Cf g k = (gk )f.

1.18. Преобразование координат при замене базиса.

В качестве определения матрицы перехода можно взять любую из формул 1.17 или 1.18.

2. Пространства со скалярным произведением 2.1. Скалярное произведение. Скалярным произведением в вещественном линейном пространстве V называется (любая) функция, сопоставляющая паре векторов число и удовлетворяющая следующим условиям. Для любых a, b, c V и, R:

1. линейность: (a + b, c) = (a, c) + (b, c);

2. симметричность: (a, b) = (b, a);

3. положительная определенность: (a, a) 0, при a = 0.

Вещественное линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым пространством. Нормой элемента a V называется число (a, a). Она обозначается через a. Обычно пишут (a, b) вместо (a, b) и a вместо a, если скалярное произведение зафиксировано или не важно, о каком скалярном произведении идет речь.

2.2. Неравенство Коши–Буняковского. (x, y)2 (x, x)(y, y).

Геометрический смысл: x·y 2.3. Неравенство треугольника.

виду вектор проекции, а не его длина).

2.5. Ортогонализация Грама–Шмидта. Пусть (f1,..., fn ) – базис евклидова пространства V. Тогда элементы являются ортогональным базисом V. Более того, если f1,..., fn – система образующих V, то ненулевые элементы набора e1,..., en образуют базис пространства V.

2.6. Координаты в ортогональном базисе. Пусть f = (f1,..., fn ) – ортогональный базис евклидова пространства V, а v V. Тогда k-я проекций на вектора ортогонального базиса, ср. 2.4).

2.7. Равенство Парсеваля. Пусть f = (f1,..., fn ) – ортогональный Геометрический смысл: равенство Парсеваля – это многомерная терема Пифагора. Точнее, квадрат длины вектора равен сумме квадратов длин его проекций на вектора ортогонального базиса.



Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |

Похожие работы:

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования АМУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра общей математики и информатики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ ИНФОРМАТИКА основной образовательной программы по направлению подготовки 140400.62 – электроэнергетика и электротехника Благовещенск 2012 1 УМКД разработан канд. пед. наук, доцентом, Чалкиной Натальей Анатольевной Рассмотрен и...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Амурский государственный университет Кафедра автоматизации производственных процессов и электротехники (наименование кафедры) УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ Микропроцессорные системы (наименование дисциплины) Основной образовательной программы по направлению подготовки (специальности) 010701 Физика (код и наименование...»

«ОТРАСЛЕВОЙ ДОРОЖНЫЙ МЕТОДИЧЕСКИЙ ДОКУМЕНТ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОЦЕНКЕ НЕОБХОДИМОГО СНИЖЕНИЯ ЗВУКА У НАСЕЛЕННЫХ ПУНКТОВ И ОПРЕДЕЛЕНИЮ ТРЕБУЕМОЙ АКУСТИЧЕСКОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ ЭКРАНОВ С УЧЕТОМ ЗВУКОПОГЛОЩЕНИЯ УТВЕРЖДЕНЫ распоряжением Минтранса России N ОС-362-р от 21.04.2003 г. Предисловие Методические рекомендации разработаны в развитие Руководства по расчету и проектированию средств защиты застройки от транспортного шума и содержат Методические рекомендации определения и оценки необходимого...»

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Вятский государственный университет Социально-экономический факультет Кафедра бухгалтерского учета, анализа и аудита Методические указания по выполнению экономического раздела в дипломных проектах Киров 2007 ББК Ч448.4(07) М545 Методические указания содержат перечень вопросов для разработки в экономическом разделе дипломного проект и рекомендации по выполнению расчетов и...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский государственный архитектурно-строительный университет СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ НАПРЯЖЕНИЯ ГЕНЕРАТОРА Методические указания к лабораторной работе № 2 Составитель Э.С. Астапенко Томск 2012 Система автоматического регулирования напряжения генератора: методические указания / Сост. Э.С. Астапенко. – Томск: Изд-во Том. гос....»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра автоматики и электротехники РАСЧЕТ СИЛОВОЙ СЕТИ ПРОМЫШЛЕННОГО ОБЪЕКТА Методические указания к выполнению расчетно-графических и контрольных работ по электротехнике Казань 2013 УДК 621.3 ББК 31.2 З-38 З-38 Расчет силовой сети промышленного объекта: Методические указания к выполнению расчетно-графических и контрольных работ по электротехнике / Сост.: Г.И. Захватов, Л.Я....»

«Министерство образования РФ Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет ЛЭТИ ПОСТРОЕНИЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ КАНАЛОВ С ПРИМЕНЕНИЕМ СРЕДЫ ГРАФИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ LabView Методические указания к лабораторным работам Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ ЛЭТИ 2001 УДК 502.3/.5:681.785 Построение измерительных каналов с применением среды графического программирования LabView: Методические указания к лабораторным работам / Сост.: В. В. Алексеев, Е. Г. Гридина, Б. Г. Комаров, П....»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет ЛЭТИ им. В.И. Ульянова (Ленина) (СПбГЭТУ) МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОРГАНИЗАЦИИ И ПРОВЕДЕНИЮ ИТОГОВОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ АТТЕСТАЦИИ МАГИСТРОВ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ НАНОТЕХНОЛОГИИ С ПРОФИЛЕМ ПОДГОТОВКИ НАНОТЕХНОЛОГИИ ДЛЯ СИСТЕМ БЕЗОПАСНОСТИ Целью итоговой государственной аттестации (ИГА) является установление...»

«Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра Электротехника и электроника ЭЛЕКТРОНИКА Часть I ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕХНИКИ Учебное пособие для студентов электротехнических специальностей Учебное электронное издание Минск 2012 УДК 621.38 (075.8) ББК 32.85я7 Авторы: Ю.В. Бладыко, Т.Е. Жуковская Рецензенты: О.И.Александров, доцент кафедры автоматизации производственных процессов и электротехники учреждения образования Белорусский...»

«дисциплину в изд-во Автор Наименование работы. № (коллектив Вид издания. Нижний Тагил п/п авторов) Код, название дисциплины Челябинск д/о з/о Златоуст Тюмень Курган Пермь КЖТ 1 2 3 4 5 6 7 8 9...»




 
© 2013 www.dis.konflib.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.